Пространство Минковского и четырехмерные векторы

Краткие теоретические сведения

В специальной теории относительности для математического представления законов удобно использовать четырехмерное пространство (пространство Минковского), используя для описания точки пространственные координаты и время, а именно – величину (– мнимая единица). Таким образом, в рассматриваемом пространстве первая координата, вторая –, третья –и четвертая –. Например, четырехмерный радиус-вектор имеет координаты, или. Индексуказывает на четырехмерность данного вектора. Первые три координаты называют пространственными, четвертую – временной.

В соответствии с преобразованиями Лоренца и учитывая, что , запишем формулы преобразования компонент четырехмерного вектора при переходе к другой системе координат:

,,,. (17.1)

Компоненты любого четырехмерного вектора при переходе от одной системы координат к другой преобразуются в соответствии с приведенными выше преобразованиями координат радиус-вектора, а именно

,,,. (17.2)

На основе преобразований и уравнений, связывающих величины, все необходимые нам величины можно представить в качестве четырехмерных векторов.

Вопросы для развернутых ответов

1. Получите формулу преобразования четвертой координаты четырехмерного радиус-вектора?

2. Какое значение в данной системе отсчета примет четвертая координата для вектора, не зависящего от времени? Сохранится ли четвертая координата в другой системе отсчета?

Литература:[3], глава 17; §84-88.

Основной блок задач

1. Запишите координаты четырехмерной скорости и четырехмерного ускорения. Учтите, что связь этих величин записывается так же, как и в классической механике.

2. Докажите инвариантность квадрата четырехмерной скорости и ее ортогональность четырехмерному ускорению.

3. На основе второго закона Ньютона запишите выражения для координат четырехмерных импульса и силы.

4. Используя уравнение непрерывности, запишите выражение для четырехмерной плотности тока.

Дополнительный блок задач

5. Опираясь на уравнение Даламбера для компонент векторного потенциала, найдите компоненты четырехмерного потенциала

6. Учитывая систему уравнений Максвелла, получите выражения для компонент четырехмерных векторов напряженности магнитного и индукции электрического полей.

7. Представьте фазу электромагнитной волны в компактной четырехмерной форме.

Практическое занятие № 18

Элементы релятивистской электродинамики

Краткие теоретические сведения

Учитывая правила преобразования компонент четырехмерного потенциала его связь с характеристиками поля, можно получить формулы преобразования электрического и магнитного полей:

,,; (18.1)

,,. (18.2)

Рассматривая формулы преобразований, можно заметить, что

(18.3)

или

, (18.4)

что указывает на отличие сил, действующих со стороны одного заряда на другой в различных системах отсчета.

При преобразовании электромагнитного поля неизменными (инвариантными) остаются следующие выражения –

, (18.5)

. (18.6)

Напряженность магнитного поля и индукция электрического являются компонентами антисимметричного тензора электромагнитного поля

, (18.6)

а напряженность электрического и индукция магнитного

. (18.7)

Антисимметричность тензоров проявляется в следующем –

,. (18.8)

Антисимметричные тензоры позволяют в компактной форме записать уравнения Максвелла –

,. (18.9)

Записывая фазу электромагнитной волны в компактной четырехмерной форме и применяя правило преобразования координат четырехмерного вектора, получим выражение, описывающее эффект Доплера –

, (18.10)

причем при имеем поперечный эффект (проявляется только в релятивистском случае).

Вопросы для развернутых ответов

1. Получите выражения для преобразований электромагнитного поля (на примере электрического или магнитного полей)?

2. Получите антисимметричный тензор на основе одной из пар уравнений Максвелла?

Литература:[3], глава 16; §75-83.

Основной блок задач

1. Докажите релятивистскую инвариантность выражений ,с помощью формул преобразований полей и с помощью антисимметричного тензора.

2. В лабораторной системе отсчета имеется однородное электромагнитное поле, индукция и напряженность которого известны. С какой скоростью должна двигаться система, в которой вектор напряженности электрического поля параллелен индукции магнитного? Единственно ли решение этой задачи?

3. В лабораторной системе отсчета имеется однородное электромагнитное поле, индукция и напряженность которого известны и перпендикулярны. С какой скоростью должна двигаться система, в которой имеется только электрическое или только магнитное поле?

4. Найдите величину ЭДС электромагнитной индукции, возникающей при движении проводника в магнитном поле. Воспользуйтесь либо формулами преобразования полей, либо формулами преобразования потенциала.

5. Используя формулы преобразования четырехмерного вектора, определите изменение частоты электромагнитного излучения при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Дополнительный блок задач

6. Монохроматическая плоская электромагнитная волна частоты падает под угломна плоское зеркало, которое движется со скоростьюв направлении своей нормали, навстречу падающей волне. Определите угол отражения от движущегося зеркала и частоту отраженной волны.

7. Пользуясь инвариантами электромагнитного поля получите выражение для плотности энергии электромагнитной волны в движущейся системе отсчета, если в покоящейся она равна .

Приложение