- •1.1. Простейшие уравнения
- •1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •1.3. Линейные уравнения первого порядка
- •Задачи
- •2.1. Структура общего решения
- •2.2. Общее решение однородного уравнения
- •2.3. Решение неоднородного уравнения
- •Задачи
- •3.1. Предварительные сведения
- •3.2. Метод исключения неизвестных
- •Задачи
- •4.1. Задача о росте производства
- •4.2. Определение спроса по эластичности
- •4.3. Непрерывное регулирование цены
- •4.4. Тенденции рынков
- •Задачи
- •Ответы и решения к задачам главы 1
- •Ответы и решения к задачам главы 2
- •Ответы и решения к задачам главы 3
- •Ответы и решения к задачам главы 4
- •Ответы и решения к задачам для повторения
|
|
|
|
|
|
1−λ |
|
3 |
|
|
p |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 −λ |
|
1 |
|
= |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Для λ1 = −2 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 3 |
|
|
p |
|
|
0 |
, откуда |
|
|
p |
|
−1 |
|
|
|||||||||||
|
|
4 4 |
|
|
1 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
= |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
p2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
1 |
|
|
|
|||||||||
Для λ2 =5 получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
3 |
|
|
p |
|
= |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
−3 |
|
1 |
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По формуле (20) найдем общее решение системы: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y1 |
=C |
|
−1 e−2 x +C |
|
|
3 e5x . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||
Это решение совпадает с решением, найденным в примере 15, с |
||||||||||||||||||||||||||
точностью до замены C →−C |
, |
C |
|
→ 1 C |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решить систему уравнений методом исключения: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y′ |
= 2 y +8y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
|
|
y′ =5y −2 y |
, |
||||||||||
17. 1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
||||
y2′ =3y1 +4 y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2′ = y1 +2 y2 . |
|
||||||||||
Решить систему уравнений, найдя собственные значения и собст- |
||||||||||||||||||||||||||
венные векторы ее матрицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y′ |
= 4 y −5y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
|
|
y′ = 2 y + y |
, |
|
|||||||||
19. 1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
||||
y2′ = 2 y1 −3y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2′ = y1 +2 y2 . |
|
||||||||||
Найти решение системы уравнений, удовлетворяющее начальным |
||||||||||||||||||||||||||
условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
= y +4 y |
|
, |
|
y1 (0) =3 |
, y2 (0) =3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
21. 1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y2′ = 2 y1 − y2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
22. |
y′ |
= y |
, |
y1 |
(0) |
= 0 , |
y2 (0) =5. |
1 |
2 |
|
|||||
|
y2′ = 6 y1 + y2 , |
|
|
|
|
82
10BГ л а в а 4
11BЗАДАЧИ С ЭКОНОМИЧЕСКИМ
СОДЕРЖАНИЕМ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
27B4.1. Задача о росте производства
Покажем, как уравнения, рассмотренные во введении в связи с задачами динамики популяций, возникают при описании экономических процессов. Пусть y(t) – интенсивность выпуска продукции некоторым
предприятием в момент времени t , а p – цена продукции. Выручка предприятия от продажи продукции составляет величину p y(t) . Пред-
положим, что некоторая фиксированная доля выручки направляется на расширение производства и что скорость изменения интенсивности вы-
пуска |
′ |
прямо пропорциональна объему этих инвестиций. Тогда по- |
|
y (t) |
|||
лучим уравнение |
|
||
|
|
y′ = kpy , |
(21) |
где k = const – некоторый коэффициент. Если цена p остается постоян-
ной, то уравнение (21) является уравнением естественного роста. Его решение, как известно из введения, имеет вид
y(t) = y0ekp(t−t0 ) ,
где y0 = y(t0 ) – интенсивность выпуска в начальный момент времени.
На практике с увеличением выпуска продукции происходит насыщение рынка и цена падает. Если снижение цены происходит по простейшему линейному закону, то есть p =b −ay , где a и b – некоторые
положительные постоянные, то уравнение (21) превращается в логисти-
ческое уравнение
83
y′ = k(b −ay) y . |
(22) |
Это уравнение с разделяющимися переменными встречалось выше при частных значениях коэффициентов (см. пример 6). По смыслу зада-
чи y удовлетворяет неравенству 0 < y < ba . При этом из (22) следует, что
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
y (t) > 0 , то есть y(t) монотонно возрастает. Общее решение уравнения |
||||||||
(22) дается формулой |
|
|
|
Cbebkt |
|
|
|
|
y(t) = |
|
|
|
|
. |
|
||
1 |
+Caebkt |
|
||||||
|
|
|
||||||
Видно, что с ростом t величина y(t) |
асимптотически приближается |
|||||||
к стационарному (постоянному) решению |
b . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
28B4.2. Определение спроса по эластичности |
|
|||||||
Пусть D( p) – величина спроса на некоторый товар при цене |
p . |
|||||||
Эластичность спроса определяется формулой |
|
|||||||
ED ( p) = |
|
|
p |
|
′ |
|
(23) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
D( p) |
D ( p) . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Если функция ED ( p) задана, то (23) можно рассматривать как дифференциальное уравнение для определения функции D( p) .
Пример 18. Найти функцию спроса D( p) , для которой эластичность:
а) постоянна; б) прямо пропорциональна цене.
Решение. а) Имеем ED ( p) = −k , k > 0 . Тогда уравнение (23) примет вид
Dp D′= −k .
Разделив переменные, получим
DD′ = − kp ==> dDD = − kp dp ==> ∫dDD = −k ∫dpp
и после вычисления интегралов найдем
D( p) = pCk .
б) В этом случае ED ( p) = −kp , k > 0 . Выполнив аналогичные дейст-
вия, найдем
D( p) =Ce−kp .
84