Примеры

Пример 1. На каких кривых может достигать экстремума функционал

Уравнение Эйлера имеет вид ; его общим решением является . Используя граничные условия, получаем: , ; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой

Пример 2. На каких кривых может достигать экстремума функционал

Уравнение Эйлера имеет вид , откуда Используя граничные условия, получаем: , ; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой .

В этих двух примерах уравнение Эйлера легко интегрировалось, но так бывает далеко не всегда, так как дифференциальные уравнения второго порядка интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях. Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

1. F не зависит от у':

Уравнение Эйлера имеет вид , так как . Решение полученного конечного уравнения не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям .

Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует. Лишь в исключительных случаях, когда кривая

проходит через граничные точки и , существует кривая, на которой может достигаться экстремум.

Пример 3.

Уравнение Эйлера имеет вид

Рисунок 3

Рисунок 4

Экстремаль у=0 проходит через граничные точки только при и (рис. 3). Если и , то, очевидно, функция y=0 реализует минимум функционала , так как , причем при у = 0. Если же хотя бы одно из и , не равно нулю, то минимум функционала на непрерывных функциях не достигается, что и понятно, так как можно выбрать последовательность непрерывных функций графики которых состоят из все более и более круто спускающейся из точки (, ) к оси абсцисс дуги кривой, затем из отрезка оси абсцисс, почти совпадающего со всем отрезком (, ), и, наконец, возле точки , круто поднимающейся к точке (, ) дуги кривой (рис. 4). Очевидно, что на кривых такой последовательности значения функционала сколь угодно мало отличаются от нуля и, следовательно, нижняя грань значений функционала равна нулю, однако эта нижняя грань не может достигаться на непрерывной кривой, так как для любой непрерывной кривой у=у(х), отличной от тождественного нуля, интеграл . Эта нижняя грань значений функционала достигается на разрывной функции (рис. 5)

2. Функция f линейно зависит от у':

Рисунок 5

Уравнение Эйлера имеет вид

или

или

но это опять, как и в предыдущем случае, конечное, а не дифференциальное уравнение. Кривая , вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариационная задача, как правило, не имеет решения в классе непрерывных функций. Если же , то выражение является точным дифференциалом и

не зависит от пути интегрирования, значение функционала v постоянно на допустимых кривых. Вариационная задача теряет смысл.

Пример 4.

Уравнение Эйлера имеет вид . Первое граничное условие удовлетворяется, но второе граничное условие удовлетворяется лишь при а = 1. Если же , то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует.

Пример 5.

Уравнение Эйлера превращается в тождество . Подынтегральное выражение является точным дифференциалом, и интеграл не зависит от пути интегрирования:

по какой бы кривой мы ни интегрировали. Вариационная задача не имеет смысла.