![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
ФИЗИКА
Модуль 1.6
Глава 6 Сложение гармонических колебаний
1 Векторная диаграмма
Рассмотрение многих вопросов, в частности сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций), становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой.
Возьмем ось, вдоль
которой будем откладывать колеблющуюся
величину
(рис. 1); величина
может быть любой физической природы).
Из взятой на оси точки
отложим вектор
длины
,
образующий с осью угол
.
Если привести этот вектор во вращение
с угловой скоростью
,
то проекция конца вектора будет
перемещаться по оси
в пределах от
до
,
причем координата этой проекции будет
изменяться со временем по закону:
.
Рис. 1
Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Таким образом,
гармоническое колебание может быть
задано с помощью вектора, длина которого
равна амплитуде колебания, а направление
образует с осью
угол, равный начальной фазе колебаний.
Рассмотрим сложение
двух гармонических колебаний одного
направления и одинаковой частоты.
Результирующее колебание
будет суммой колебаний
и
,
которые определяются функциями
,
. (6.1)
Представим оба
колебания с помощью векторов
и
(рис. 2). Построим по правилам сложения
векторов результирующий вектор
.
Рис. 2
На рисунке видно,
что проекция этого вектора на ось
равна сумме проекций складываемых
векторов:
Следовательно,
вектор
представляет собой результирующее
колебание. Этот вектор вращается с той
же угловой скоростью
как и векторы
и
,
так что сумма
и
является гармоническим колебанием с
частотой
,
амплитудой
и начальной
фазой
.
Из рисунка вытекает, что
,(6.2)
. (6.3)
Итак, представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще.
Исследуем выражение
(6.2) для амплитуды. Если разность фаз
колебаний
равна нулю, амплитуда результирующего
колебания равна
.
Если разность
равна +
или -
,
т. е. колебания находятся в противофазе,
то амплитуда результирующего колебания
равна
.
2 Биения
Особенно важен
случай, когда два складываемых
гармонических колебания одного
направления мало отличаются по частоте.
Мы сейчас покажем, что возникающий при
этом процесс можно рассматривать как
гармоническое колебание с пульсирующей
амплитудой. Такое колебание называется
биениями.
Обозначим частоту одного из колебаний
буквой
,
частоту другого колебания через
.
По условию
.
Амплитуды колебаний будем полагать
одинаковыми и равными
.
Допустим, что начальные фазы обоих
колебаний равны нулю.
Тогда уравнения колебаний будут иметь вид
,
Сложив эти выражения
и применив формулу для суммы косинусов
(),
получим
(6.4)
(во втором
сомножителе мы пренебрегли слагаемым
по сравнению с
.
График функции (6.4) изображен на рис. 3
а.
Рис. 3
Множитель в скобках
в формуле (6.4) изменяется гораздо
медленнее, чем второй множитель. Ввиду
условия
за то время, за которое
совершает несколько полных колебаний,
множитель в скобках почти не изменяется.
Это дает основание
рассматривать процесс (6.4) как гармоническое
колебание частоты
,
амплитуда которого изменяется по
некоторому периодическому закону.
Выражением этого закона не может быть
множитель, стоящий в скобках, так как
он изменяется в пределах от
до
,
в то время как амплитуда по определению
— положительная величина. График
амплитуды дан на рис. 3 б. Аналитическое
выражение амплитуды имеет вид
. (6.5)
Это выражение
представляет собой периодическую
функцию с частотой, в два раза превышающей
частоту гармонической функции, стоящей
под знаком модуля, т.е. с частотой
(рис. 4). Следовательно, частота пульсаций
амплитуды - ее называют частотой
биений -
равна разности частот складываемых
колебаний.
Рис. 4