7. Математика Древнего мира: Пифагор и Евклид

Что касается математики, то она характеризуется прежде всего развитием арифметики для хозяйственных расчетов всякого рода и геометрии, применяемой раньше всего в земледелии (о чем свидетельствует само ее название в европейских языках, происходящее от греческих слов «ге» — земля и «метрия» — измерение) и строительстве. В V — IV тыс. до н. э. в Египте и Двуречье, в связи со строительством оросительных систем, начинают использовать некоторые землемерные инструменты и такие приспособления, как измерительный шест, отвес, маркет (уровень с отвесом), нивелирование с помощью воды, бей (визирная дощечка). В этот период развивается и измерение затопленных площадей, заложившее начала геометрии. Для строительства крупных объектов, какими являлись пирамиды, храмы, дамбы, каналы, нужны были рабочие чертежи, эскизы. Самым древним свидетельством появления чертежей служит сохранившийся до сих пор чертеж плана дома XXIV — XXIII вв. до н. э. из района Месопотамии. Древние египтяне имели хорошо развитое представление о планиметрических и пространственных отношениях и навыки составления технических эскизов. Об этом свидетельствуют сохранившиеся строительные и различные вспомогательные планы сооружений того времени, например план гробницы египетского фараона Рамзеса IV (ок. 1200 г. до н. э.) или нубийских золотых рудников 1300 г. до н. э.1. Большое значение имело раннее развитие в Египте счетного дела. На рубеже IV и III тыс. до н. э. египетские писцы-счетчики употребляли слова и знаки для обозначения десятка тысяч, сотни тысяч, миллиона. Система счисления была в основном десятичной. В начале III тыс. до н. э. появились первые числовые символы. В письменных памятниках культуры Урук на территории Ирака, в минойской культуре Крита, в Мохенджо-Даро шумеры стали применять десятично-шестидесятичную непозиционную систему счисления, согласно которой для каждого десятичного и шестидесятичного ряда имелся свой знак. К началу II тыс. до н. э. десятичношестидесятичная непозиционная система была вытеснена десятичной непозиционной системой счисления. К этому времени месопотамские математики при решении квадратных, некоторых кубических и одного биквадратного уравнений, системы уравнений с двумя неизвестными и различных задач опирались на табулированные величины, например, на имеющиеся таблицы обратных величин, умножения, второй и третьей степеней чисел, квадратных и кубических корней. Вычитания производилисьприблизительно, определением величин с помощью методов ошибочного предположения (requla faisi), подстановки и геометрическим представлением алгебраических тождеств. Этими методами были вычислены -т/2, равный 1,414213, определено значение л»3,125. Открытие этих методов исчисления положило начало так называемой геометрической алгебре. Шумерские математики II тыс. до н. э. приняли двенадцатеричную основу. Так, окружность делилась на 360°. Это, как и деление часа на 60 минут, было унаследовано европейской культурой. Древневавилонским математикам были известны свойства прямоугольных треугольников, сформулированные впоследствии в виде пифагоровой теоремы; они умели также исчислять проценты, измерять площадь и объем различных геометрических фигур. Египетские математики в XVIII—XVI вв. до н.э. владели не только четырьмя действиями арифметики, но им были известны вторая и третья степени и корень второй степени, разложение простых дробей на основные, вычисление простого арифметического и геометрической прогрессии, линейные уравнения с одним неизвестным. Египтяне умели определять площадь треугольников, четырехугольников, круга, оперировали числом я (оно считалось равным 3,1605), определяли объемы параллелепипедов, цилиндров и неправильной пирамиды. Известны были способы вычисления наклона боковых граней пирамиды. Многие достижения математиков Древнего Востока легли в основу греческой математики, родоначальницы современной математической науки.