Этап II. Безусловная оптимизация.

Из таблицы 4-го шага имеем F*₄(e⁰ = 100) = 64. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e⁰ = 100 равен 64

Из этой же таблицы получаем, что 1-му предприятию следует выделить u*₁(e⁰ = 100) = 100

При этом остаток средств составит:

e¹ = e⁰ - u¹

e¹ = 100 - 100 = 0

Из таблицы 3-го шага имеем F*₃(e¹ = 0) = 0. То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e¹ = 0 равен 0

Из этой же таблицы получаем, что 2-му предприятию следует выделить u*₂(e¹ = 0) = 17

При этом остаток средств составит:

e² = e¹ - u²

e² = 0 - 17 = -17

Из таблицы 2-го шага имеем F*₂(e² = -17) = . То есть максимальный доход всей системы при количестве средств e² = -17 равен

Из этой же таблицы получаем, что 3-му предприятию следует выделить u*₃(e² = -17)

При этом остаток средств составит:

e³ = e² - u³

e³ = -17 - = -17

Последнему предприятию достается -17

Итак, инвестиции в размере 100 необходимо распределить следующим образом:

1-му предприятию выделить 100

2-му предприятию выделить 17

3-му предприятию не выделять

4-му предприятию выделить -17

Что обеспечит максимальный доход, равный 64

4. Формирование и решение задачи замены оборудования

Исходные данные:

Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после чего продается. В начале каждого года принимается решение сохранить оборудование или заменить его новым. Известны первоначальная стоимость нового оборудования p(t)= p₀ =const, затраты на содержание оборудования r(t) и ликвидная стоимость оборудования (t). Необходимо определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, обеспечивающую минимальные суммарные затраты на эксплуатацию в течение 5 лет.

Исходные данные:

t	0	1	2	3	4	5
r(t)	600	950	1300	1900	2500	-
(t)	-	10000	8000	5000	2000	550
p(t)	12000	12000	12000	12000	12000	12000

I этап. Условная оптимизация (k = 5,4,3,2,1).

Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.

1-й шаг: k = 5. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:

F₅(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З) )

F₅(1) = max(950 ; 10000 - 12000 + 600) = 950 (C)

F₅(2) = max(1300 ; 8000 - 12000 + 600) = 1300 (C)

F₅(3) = max(1900 ; 5000 - 12000 + 600) = 1900 (C)

F₅(4) = max(2500 ; 2000 - 12000 + 600) = 2500 (C)

F₅(5) = max(0 ; 550 - 12000 + 600) = 0 (C)

2-й шаг: k = 4. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:

F₄(t) = max(r(t) + F₅(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F₅(1))

F₄(1) = max(950 + 1300 ; 10000 - 12000 + 600 + 950) = 2250 (C)

F₄(2) = max(1300 + 1900 ; 8000 - 12000 + 600 + 950) = 3200 (C)

F₄(3) = max(1900 + 2500 ; 5000 - 12000 + 600 + 950) = 4400 (C)

F₄(4) = max(2500 + 0 ; 2000 - 12000 + 600 + 950) = 2500 (C)

3-й шаг: k = 3. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:

F₃(t) = max(r(t) + F₄(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F₄(1))

F₃(1) = max(950 + 3200 ; 10000 - 12000 + 600 + 2250) = 4150 (C)

F₃(2) = max(1300 + 4400 ; 8000 - 12000 + 600 + 2250) = 5700 (C)

F₃(3) = max(1900 + 2500 ; 5000 - 12000 + 600 + 2250) = 4400 (C)

4-й шаг: k = 2. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:

F₂(t) = max(r(t) + F₃(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F₃(1))

F₂(1) = max(950 + 5700 ; 10000 - 12000 + 600 + 4150) = 6650 (C)

F₂(2) = max(1300 + 4400 ; 8000 - 12000 + 600 + 4150) = 5700 (C)

5-й шаг: k = 1. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:

F₁(t) = max(r(t) + F₂(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F₂(1))

F₁(1) = max(950 + 5700 ; 10000 - 12000 + 600 + 6650) = 6650 (C)

Результаты вычислений по уравнениям Беллмана F_k(t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.

k / t	1	2	3	4	5
1	6650	0	0	0	0
2	6650	5700	0	0	0
3	4150	5700	4400	0	0
4	2250	3200	4400	2500	0
5	950	1300	1900	2500	0

В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.

II этап. Безусловная потимизация (k = 5,4,3,2,1)

Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимальной возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-й составляет F₁(1) = 6650. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования.

К началу 2-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₂ = t₁ + 1 = 1 + 1 = 2.

Оптимальное управление при k = 2, x₂(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 2-го по 5-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

К началу 3-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₃ = t₂ + 1 = 2 + 1 = 3.

Оптимальное управление при k = 3, x₃(3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 5-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

К началу 4-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₄ = t₃ + 1 = 3 + 1 = 4.

Оптимальное управление при k = 4, x₄(4) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 4-го по 5-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

К началу 5-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t₅ = t₄ + 1 = 4 + 1 = 5.

Оптимальное управление при k = 5, x₅(5) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 5-го по 5-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

Таким образом, за 5 лет эксплуатации оборудования нет необходимости производить замену.