1 и 2 лекция, ОДУ, Дифференциальные уравнения

интегральным уравнениями предельная функция y = '(x) является решением задачи Коши дифференциального уравнения (1.1)

сначальными данными x0; y0 на отрезке Пеано [x0 h; x0 + h]:

Замечания.

9.Теорема Пеано не дает информации о количестве решений уравнения (1.1), проходящих через заданную точку области G:

10.В связи с возможным нарушением единственности решений

внекоторых точках области G в этих точках существуют решения,

которые нельзя приблизить ломаными Эйлера. Так, в примере 2 решения уравнения y0 = 3y2=3 это функции y = (x C)3 и y 0: Но любой отрезок любой ломаной Эйлера, проходящей через точку (x0; 0); имеет нулевой угол наклона, поэтому ломаная может приближать только решение y 0: А если точка (x0; y0) 2 Ge G и Ge область единственности, то любая равномерно сходящаяся на отрезке Пеано подпоследовательность произвольной последовательности ломаных Эйлера сходится к одному и тому же решению.

§ 3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

10: Лемма Гронуолла.

В этой параграфе будут представлены три различные теоремы единственности, две из которых будут доказаны, включая теорему, сформулированную п. 60 § 1.

Доказательство любой из теорем единственности, как и доказательство многих других результатов, основано на использовании леммы Гронуолла, позволяющей из интегральной оценки функции, когда функция оценивается сверху через интеграл от нее самой и оценка в этом смысле является рекуррентной, получить прямую оценку сверху только через аргумент функции и входящие в интегральную оценку константы.

Лемма. Пусть функция h(x) непрерывна на промежутке ha; bi;

21

Тогда g(x0) = 0; g(x) 0; g(x) 2 C1([x0; bi) и g0(x) = h(x) 0:

Подставляя функцию g(x) в оценку (1.10), получаем неравенство g0(x) + g(x):

Перенося последнее слагаемое в левую часть, домножая обе части

и выделяя слева производную, получаем неравенство

(g0(x) g(x))e (x x0) = (g(x)e (x x0))0 e (x x0):

Интегрируя обе его части по s от x0 до x; получаем неравенство

Z x

g(x)e (x x0) g(x0) e (s x0) ds = ( = )(e (x x0) 1):

x0

Учитывая, что g(x0) = 0; и домножая обе части неравенства на e (x x0); получаем прямую оценку для g : g(x) ( = )(e (x x0) 1):

Подставляя это неравенство в правую часть неравенства (1.10),

введенная функция g(x) 0:

Дальнейшее доказательство аналогично случаю, когда x x0; только домножать и делить соответствующие неравенства придется на e (x x0); получая неравенство (1.11) в виде h(x) e (x x0):

x0

20: Условия Липшица.

Зачастую требование дифференцируемости функции, особенно от нескольких переменных, по какой-либо переменной, не смотря на удобство в применении и проверке, оказывается чрезмерным и его заменяют так называемым локальным условием Липшица, которое не допускает более чем линейного роста функции по этой переменной в окрестности каждой точки из некоторой области.

Df. Функция f(x; y) удовлетворяет условию Липшица по y глобально на множестве D R2; т. е. f 2 Lipgly (D); если

9 L > 0 : 8 (x; yb); (x; ye) 2 D ) jf(x; ye) f(x; yb)j Ljye ybj: (1:12)

22

Df. Функция f(x; y) удовлетворяет условию Липшица по y локально в области G R2; т. е. f 2 Liplocy (G); если для любой точки

(x0; y0) 2 G найдется окрестность этой точки V (x0; y0) G такая,

что функция f(x; y) удовлетворяет в ней условию Липшица по y глобально, т. е. f 2 Lipgly (V (x0; y0)):

Более подробно условия Липшица будут рассмотрены в главе 3, посвященной нормальным системам дифференциальных уравнений, где будут установлена связь между ними.

30: Теоремы о единственности решения.

Теорема (единственности). Пусть в уравнении (1.1) функция f(x; y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y локально в области G; тогда G это область единственности для уравнения (1.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем произвольную точку (x0; y0) из области G: Поскольку f 2 Liplocy (G); найдется окрестность V = V (x0; y0) G и глобальная константа Липшица L = L(x0; y0) > 0 такие, что f 2 Lipgly (V ) с константой L:

Покажем, что (x0; y0) точка единственности.

Рассмотрим любые два решения y = '1(x) и y = '2(x) уравнения (1.1), проходящие через эту точку, т. е. '1(x0) = '2(x0) = y0:

Выберем интервал ( ; ) 3 x0 такой, что оба решения на нем определены и для любого x 2 ( ; ) точки (x; '1(x)); (x; '2(x)) 2 V:

По теореме о связи между дифференциальным и интегральным уравнениями функции y = 'j(x) (j = 1; 2) являются решениями интегрального уравнения (1.3) на ( ; ); т. е. для всякого x 2 ( ; )

Z x

выполняется тождество (1.4): 'j(x) = y0 + f(s; 'j(s)) ds:

точки (s; '1(s)); (s; '2(s)) 2 V: Поэтому в них выполняется гло-

23

Кпоследнему неравенству можно применить лемму Гронуолла,

аточнее, следствие к ней.

Положим h(x) = j'2(x) '1(x)j; = 0; = L; тогда j'2(x)

( ; )

'1(x)j 0; т. е. решения y = '1(x) и y = '2(x) задачи Коши с начальными данными x0; y0 совпадают в каждой точке интервала ( ; ); содержащего x0: По определению это значит, что (x0; y0) это точка единственности.

Слабая теорема единственности, сформулированная § 1, п. 60; имеет более жесткие ограничения на функцию f(x; y); являясь, тем самым, следствием основной теоремы единственности. Докажем ее.

Теорема (единственности, слабая). Пусть в уравнении (1.1) функция f(x; y) непрерывна в области G R2; а в области Ge G существует и непрерывна частная производная @f(x; y)=@y; тог-

можно ослабить, сохраняя единственность решения задачи Коши.

24

Теорема Осгуда (единственности, сильная). Пусть в уравнении (1.1) функция f(x; y) непрерывна в области G R2 и

где функция h(s) определена, непрерывна и положительна для вся-

Z a

кого s 2 (0; a] и h 1(s) ds ! 1 при " ! 0 (" > 0): Тогда G

"

область единственности для уравнения (1.1) (без доказательства).

В качестве функции h(s) можно выбрать, например, функцию y = Ls (L > 0): Тогда неравенство (1.13) превратится в неравенство (1.12), т. е. окажется глобальным условием Липшица в области G; а теорема Осгуда следствием теоремы единственности.

Но R0a h 1(s) ds будет также расходящимся для любой функции h(s) = Ks j ln sj; Ks j ln sj ln j ln sj; Ks j ln sj ln j ln sj ln ln j ln sj и т. д. А условие (1.13) на функцию f(x; y) с такими функциями h(s) уже значительно слабее, чем условие Липшица. Очевидно, оно допускает нелинейный рост функции f по y:

§ 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ

10: Область существования общего решения.

В § 1, п. 70 было дано определение общего решения уравнения (1.1) и сформулирована теорема о его существовании, которую предстоит доказать в этом параграфе.

По определению общее решение это непрерывная функция двух переменных y = '(x; C); обладающая определенными свойствами. Поэтому первое, что надо сделать, задать ее область определения.

Гарантировать существование общего решения в произвольной области единственности G нельзя, даже если она будет достаточно мала. Область определения функции y = '(x; C) задается локально, т. е. в окрестности любой точки из G; и имеет строго определенную форму, позволяющую получить ряд необходимых результатов.

Итак, пусть G область единственности для уравнения (1.1).

Возьмем произвольную точку (x0; y0) 2 G: Тогда найдутся такие y1; y2; что y1 < y0 < y2 и для любого y 2 [y1; y2] точка (x0; y) 2 G:

25

Рассмотрим решения задачи Коши y = '1(x) и y = '2(x) с начальными данными (x0; y1) и (x0; y2); определенные на интервалах (a1; b1) и (a2; b2); содержащих точку x0: Рассмотрим также любой отрезок [a; b] такой, что x0 2 [a; b] (a1; b1) \ (a2; b2); и открытое множество A = f(x; y) j a < x < b; '1(x) < y < '2(x)g:

Очевидно, что уменьшая при необходимости отрезок [a; b]; можно всегда добиться, чтобы замыкание множества A это компакт A = f(x; y) j a x b; '1(x) y '2(x)g содержался в области G: Для этого, например, достаточно уменьшить [a; b] так, чтобы графики решений y = '1(x) и y = '2(x) при x 2 [a; b] попали в замкнутый круг с центром в точке (x0; y0); лежащий в G: Такой круг выбирается из счетной базы окрестностей пространства R2:

Поскольку по построению '1(x0) = y1 < y2 = '2(x0) и G это область единственности, то '1(x) < '2(x) для всякого x 2 [a; b]: Поэтому открытое множество A это область, так как дуги интегральных кривых решений '1(x) и '2(x) при x 2 [a; b] не могут соприкоснуться, разбивая A на несвязные подмножества.

В чем же заключаются достоинства области A?

Лемма (о поведении решений в области A ). 1) Существует число h > 0 такое, что для любой точки (x0; y0) 2 A можно построить Ph(x0; y0) отрезок Пеано универсальной длины 2h;

2) Для любой точки (x0; y0) 2 A решение уравнения (1.1) y = '(x) с начальными данными x0; y0 продолжимо на весь отрезок [a; b]:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем произвольную точку (x0; y0) из области G и построим ее окрестность A так, чтобы ее замыкание

A = f(x; y) j a x b; '1(x) y '2(x)g G:

1) Обозначим через Ac (c > 0) c -окрестность компакта A; т. е.

Ac = f(x; y) j 9 (x0; y0) 2 A : jx x0j < c; jy y0j < cg:

Очевидно, что существует такое " > 0; что замыкание " - окрестности компакта A компакт A" содержится в области G: Тогда существует M = maxA" jf(x; y)j:

Пусть (x0; y0) произвольная точка из A: Тогда замкнутый пря-

моугольник R = f(x; y) j jx x0j "; jy y0j "g A" G:

Положим h = min f"; "=Mg: Тогда по определению Ph(x0; y0) = [x0 h; x0 + h] является отрезком Пеано, построенным для произ-

вольной точки (x0; y0) 2 A:

26

2) Для любой точки (x0; y0) 2 A по теореме Пеано решение задачи Коши y = '(x) с начальными данными x0; y0 определено на отрезке Пеано [x0 h; x0 +h]; длина которого согласно 1) неизменна

для всех точек компакта A:

Рассмотрим '(x); например, при x > x0: Если x0 + h b; то доказывать нечего.

Если x0 + h < b; то '1(x0 + h) < '(x0 + h) < '2(x0 + h); а

значит, точка (x0 +h; '(x0 +h)) 2 A и, взяв ее в качестве начальной, решение y = '(x) можно продолжить вправо на полуотрезок Пеано

[x0 + h; x0 + 2h]:

Если теперь x0 + 2h b; то доказательство закончено, если нет, то сделаем очередное продолжение решения вправо на длину h:

Таким образом за конечное число шагов решение будет продолжено вправо до точки b включительно.

Аналогично y = '(x) можно продолжить влево до точки a:

20: Формула общего решения.

Для любой точки (x0; y0) из A обозначим через y = y(x; x0; y0) решение задачи Коши уравнения (1.1) с начальными данными x0; y0: Тогда y(x0; x0; y0) = y0 и по лемме из п. 10 решение y = y(x; x0; y0) определено для всякого x 2 [a; b]:

Теорема (о существовании общего решения). Определенная в (1.13) функция y = '(x; C) является общим решением уравнения (1.1) в области A; построенной в окрестности произвольной точки из области единственности G:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем, что функция y = '(x; C) удовлетворяет определению общего решения уравнения (1.1), сформулированному в § 1, п. 70:

1) Возьмем произвольную точку (x0; y0) 2 A и рассмотрим урав-

27

Наличие у него решения C = C0; фактически, означает, что выпущенное из точки ( ; C0) 2 A решение уравнения (1.1) в момент x0 попадает в точку (x0; y0) 2 A: Покажем, что решение уравнения (1.14) существует и единственно.

Выпустим из точки (x0; y0) решение y = y(x; x0; y0); которое по лемме из п. 10 определено на всем отрезке [a; b] и, в частности, при x = 2 (a; b) по определению (1.13).

y

Положим C0 = y( ; x0; y0): Тогда точка ( ; C0) принадлежит графику решения y = y(x; x0; y0) и по предположению является точкой единственности. Поэтому решение задачи Коши уравнения (1.1) y = y(x; ; C0) с начальными данными ; C0 y = y(x; ; C0) по лемме продолжимо на [a; b] и совпадает с решением y = y(x; x0; y0): В

Другими словами, дуга интегральной кривой уравнения (1.1), построенная на [a; b] и проходящая через точки (x0; y0); ( ; C0) имеет две параметризации y = y(x; x0; y0) и y = y(x; ; C0):

Итак, установлено, что уравнение (1.14) имеет единственное решение C = C0 = y( ; x0; y0); т. е. y0 = y(x0; ; y( ; x0; y0)):

При этом функция y = '(x; C0) является решением задачи Коши уравнения (1.1) с начальными данными x0; y0; поскольку согласно (1.13) и (1.14) '(x0; C0) = y(x0; ; C0) = y0:

2) Покажем теперь, что функция y = '(x; C) непрерывна, т. е. непрерывна по совокупности переменных.

Опишем сначала область определения введенной в (1.13) функции '(x; C) = y(x; ; C); где фиксированное число 2 (a; b); а точка ( ; C) 2 A и, тем самым, '1( ) C '2( ) по построению A:

28

Учитывая, что по лемме решение y = y(x; ; C) определено для всякого x 2 [a; b] и что при x = по определению решения задачи Коши '( ; C) = y( ; ; C) = C; заключаем, что '(x; C) определена

впрямоугольнике H = f(x; C) j a x b; '1( ) C '2( )g: Поскольку для всякого C 2 ['1( ); '2( )] функция y = '(x; C) –

это решение уравнения (1.1), она непрерывна по x при x 2 [a; b]: Покажем, что для всякого x 2 [a; b] функция y = '(x; C) непре-

рывна по C при C 2 ['1( ); '2( )]:

Допуская противное, предположим, что найдутся "e> 0; xe 2 [a; b] и последовательность Ck ! Ce при k ! +1; Ck 2 ['1( ); '2( )] такие, что j'(x;e Ck) '(x;e Ce)j "e при всех k 1: Это значит, что при x = xe функция '(x;e C) терпит разрыв в точке Ce 2 ['1( ); '2( )]; поскольку любой компакт и, в частности, ['1( ); '2( )] содержит все свои предельные точки.

В этом случае, кстати, xe 6= ; так как если xe = ; то по определению '( ; Ck) = Ck; а тождественная функция непрерывна.

Выпуская из точек ( ; Ck) 2 A решения уравнения (1.1), получаем последовательность решений y = y(x; ; Ck) = '(x; Ck):

Поскольку из любой сходящейся последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность, будем считать, не уменьшая общности, что последовательность Ck; например, монотонно

возрастает, т. е. Ck < Ck+1 < Ce для любого k 1:

В области единственности интегральные кривые не пересекаются, поэтому последовательность '(x; Ck) тоже монотонно возрастает и ограничена, так как '(x; Ck) '(x; C) " по предположению. Но

29

Выберем произвольную точку y из интервала (y; '(x; C)); и рас-

e

В результате получилось, что дуги интегральных кривых решений y = '(x; Ck ) и y = '(x; C ) пересекаются при некотором x ;

лежащем между и x;e поскольку '( ; Ck ) = Ck > C = '( ; C );

а '(x;e Ck ) < ye < y = y(x;e ; C ) = '(x;e C ):

Этот факт противоречит условию теоремы о том, что G является областью единственности.

Итак, доказано, что функция y = '(x; C) непрерывна по C; а значит, по каждой из переменных. Однако, само по себе, этого недостаточно для ее непрерывности по совокупности переменных.

Придется дополнительно воспользоваться еще одним свойством функции ': Поскольку y = '(x; C) при любом C 2 ['1( ); '2( )]

[a;b]

есть решение уравнения (1.1), то @'(x; C)=@x f(x; '(x; C)): Но

(x; '(x; C)) 2 A; когда (x; C) 2 H; а на компакте A jf(x; y)j M:

Следовательно, j@'(x; C)=@xj равномерно ограничен. Этого достаточно для непрерывности функции y = '(x; C) по x на [a; b] равномерной относительно C 2 ['1( ); '2( )]:

А это, в свою очередь, наряду с поточечной непрерывностью по C гарантирует непрерывность '(x; C) по совокупности переменных в прямоугольнике H:

Df. Общее решение y = '(x; C); определенное формулой (1.13), называется общим решением в форме Коши или классическим общим решением.

30