1 и 2 лекция, ОДУ, Дифференциальные уравнения

Возьмем произвольную точку (x0; y0) из области определения G уравнения (1.1). В этой точке известен тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой: tg (x0) = y0(x0) = f(x0; y0):

Df. Отрезок, вообще говоря, единичной длины с центром в точке (x0; y0) 2 G и тангенсом угла наклона, равным f(x0; y0); называется направлением поля или отрезком поля направлений в точке (x0; y0); индуцированным уравнением (1.1).

Df. Область G; заполненная отрезками поля направлений, называется полем направлений, индуцированным уравнением (1.1).

Из последнего определения следует, что задание уравнения (1.1) равносильно заданию непрерывного поля направлений.

С этой точки зрения, кривая, лежащая в области G; является интегральной кривой тогда и только тогда, когда она гладкая и в каждой точке направление касательной к ней совпадает с направлением поля в этой точке.

Таким образом, геометрически, решить дифференциальное уравнение (1.1) означает найти в G все его интегральные кривые.

100: Метод изоклин.

Представляет интерес задача, не решая уравнения (1.1), которое может в явном виде и не решаться, построить приближенно все его интегральные кривые, а точнее, все наиболее характерные из них.

Наиболее удобно осуществлять приближенное построение интегральных кривых при помощи метода изоклин.

Df. Изоклиной уравнения (1.1) называется любая кривая, расположенная в области G; в каждой точке которой направление поля имеет один и тот же угол наклона.

Поэтому все изоклины задаются уравнением f(x; y) = k (k 2 R): Метод изоклин заключается в том, чтобы, нарисовав достаточно много изоклин и отрезков поля на них, провести характерные интегральные кривые, касающиеся построенных на изоклинах отрезков

поля направлений.

11

В. В. Басов Курс лекций по ОДУ

§ 2. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ

10: Ломаные Эйлера.

В этой параграфе будет доказана сформулированная п. 60 § 1 теорема Пеано о существовании решения у дифференциального уравнения первого порядка (1.1) y0 = f(x; y); в котором f 2 C(G):

Решение будет строиться при помощи так называемого метода ломаных Эйлера, который и будет изложен в этом пункте.

Выберем в области G произвольную точку (x0; y0) и построим в ней отрезок поля направлений столь малой длины, что он целиком лежит в G; начинаясь, скажем, в точке (x 1; y 1) и заканчиваясь в точке (x1; y1): Проведем вправо через точку (x1; y1) и влево через точку (x 1; y 1) полуотрезки поля, лежащие в G и заканчивающиеся соответственно в точках (x2; y2) и (x 2; y 2); и т. д.

Поскольку G область, а значит, открытое множество, этот процесс можно продолжать любое конечное число шагов N:

Полученная непрерывная кусочно линейная кривая y = (x) называется ломаной Эйлера. Она определена в окрестности (x0; y0);

щий вид: (x0) = y0 и далее последовательно по j = 0; 1; : : : ; N 1

для 8 x 2 (xj; xj+1] или по j = 0; 1; : : : ; 1 N для 8 x 2 [xj 1; xj)

13

В частности, при j = 0 отрезок ломаной Эйлера определен для любого x 2 [x 1; x1] и, делясь на два полуотрезка, проходит через точку (x0; y0) под углом, тангенс которого равен f(x0; y0):

Кроме того, интегрируя разрывную кусочно постоянную функ-

при x 2 [xj; xj+1) (j 2 f N; : : : ; 1g):

20: Лемма об " -решении.

Покажем, что на некотором промежутке всегда можно построить функцию, график которой проходит через заданную точку области G; такую, что при подстановке ее в уравнение (1.1) разность между левой и правой частями уравнения окажется по модулю меньше любого сколь угодно малого наперед заданного положительного числа.

14

В. В. Басов Курс лекций по ОДУ

Df. Для всякого " > 0 непрерывная и кусочно гладкая на отрезке [a; b] функция y = (x) называется " -решением уравнения (1.1) на

Лемма. Для любой точки (x0; y0) 2 G и для любого отрезка Пеано Ph(x0; y0) : 1) всякая ломаная Эйлера продолжима на весь

отрезок Ph(x0; y0) и для 8 x 2 [x0 h; x0 +h] точка (x; (x)) 2 R; 2) для 8 " > 0 найдется такое > 0; что всякая ломаная Эйлера y = (x) с рангом дробления не превосходящим является " -решением уравнения (1.1) на отрезке Пеано Ph(x0; y0):

До к а з а т е л ь с т в о . 1) Аналогично тому, как это было сделано

вп. 50 § 1, для произвольной точки (x0; y0) из области G построим прямоугольник R G с центром в этой точке и два симметричных равнобедренных треугольника T R с общей вершиной в той же точке и основаниями параллельными оси ординат.

В результате появятся положительные константы a; b; а также

M = maxR jf(x; y)j и h = minfa; b=Mg:

Рассмотрим теперь любой отрезок произвольным образом построенной ломаной Эйлера, например, лежащий справа от точки x0:

По построению он принадлежит R; поэтому согласно (1.6) модуль тангенса угла наклона выбранного отрезка равняется jf(xj; (xj))j (j 2 f0; : : : ; N 1g); что не превосходит соответствующим образом введенной константы M:

А тангенсы углов наклона боковых сторон треугольника T по построению равны M: Следовательно ни при каких условиях ни один отрезок ломаной Эйлера не может пересечь боковую стенку T; и ничто не может помешать за любое число шагов дотянуть ломаную Эйлера до основания треугольника, т. е. построить ее на полуотрезке Пеано [x0; x0 + h]: Для левого полуотрезка Пеано все аналогично.

2) По доказанному выше любая ломаная Эйлера y = (x) может быть построена на любом отрезке Пеано Ph(x0; y0): При этом для

8 x 2 [x0 h; x0 + h] точка (x; (x)) 2 T R G:

Зафиксируем теперь произвольное положительное число ":

15

Функция f(x; y) непрерывна на компакте R; следовательно, по теореме Кантора f равномерно непрерывна на нем. По определению

это значит, что существует такое 1 > 0; что для любых двух точек (x0; y0) и (x00; y00) из прямоугольника R таких, что jx0 x00j 1 и jy0 y00j 1; выполняется неравенство jf(x0; y0) f(x00; y00)j ":

Положим = minf 1; 1=Mg и покажем, что для любой ломаной Эйлера y = (x) с рангом дробления меньшим чем справедливо неравенство (1.8) на отрезке Пеано Ph(x0; y0) = [x0 h; x0 + h]:

Возьмем любую точку x из отрезка Пеано, например, справа от x0: Найдется индекс j 2 f0; : : : ; N 1g такой, что x 2 (xj; xj+1]; т. е. xj ближайшая к x левая угловая точка ломаной Эйлера.

Согласно (1.6) 0(x) f(x; (x)) = f(xj; (xj)) f(x; (x)):

Оценим близость аргументов функции f:

По выбору и j имеем: jx xjj 1; и теперь согласно (1.5) j (x)) (xj)j = jf(xj; (xj))jjx xjj M 1:

Поэтому из определения равномерной непрерывности функции f вытекает, что jf(xj; (xj)) f(x; (x))j "; а значит, неравенство (1.8) из определения " -решения справедливо для 8 x 2 Ph(x0; y0):

30: Лемма Асколи - Арцело.

Вспомним для начала несколько определений из математического анализа, касающихся функциональных последовательностей, поскольку нам предстоит иметь дело с последовательностью ломаных Эйлера, являющихся "n -решениями, и "n будет стремиться к нулю.

Рассмотрим последовательность fhn(x)g1n=1; заданную на [a; b]: Каждая из функций последовательности fhn(x)g1n=1 ограничена

на [a; b]; если 8n 1 9Kn > 0 : 8 x 2 [a; b] ) jhn(x)j Kn:

Df. Последовательность fhn(x)g1n=1 равномерно ограничена на

[a; b]; если 9K > 0 : 8n 1; 8 x 2 [a; b] ) jhn(x)j K:

Каждая из функций последовательности fhn(x)g1n=1 непрерывна на [a; b]; а значит, согласно теореме Кантора равномерно непрерыв-

16

В. В. Басов Курс лекций по ОДУ

Последовательность функций fhn(x)g1n=1 поточечно сходится к некоторой функции h(x) на отрезке [a; b]; если 8 " > 0; 8 x 2 [a; b]

9 Nx > 0 : 8 i; j N ) jhi(x) hj(x)j ":

Df. Последовательность fhn(x)g1n=1 равномерно сходится к некоторой функции h(x) на отрезке [a; b]; если 8 " > 0 9 N > 0 :

8 i; j N; 8 x 2 [a; b] ) jhi(x) hj(x)j ":

Поточечная сходимость обозначается hn(x) ! h(x) при n ! 1

[a;b]

для 8 x 2 [a; b]; а равномерная hn(x) h(x) при n ! 1: Таким образом, в первых двух определениях слова равномерно и

равностепенно означают, что константы K и не зависят от выбора n; а в третьем определении равномерность означает, что N не зависит от выбора x:

Лемма Асколи - Арцело (о существовании равномерно сходящейся подпоследовательности). Из любой равномерно ограниченной и равностепенно непрерывной на [a; b] последовательности функций fhn(x)g1n=1 можно извлечь равномерно сходящуюся на [a; b] подпоследовательность.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Хорошо известно, что рациональные числа образуют счетное всюдуплотное множество на любом промежутке вещественной прямой. Поэтому всюдуплотное множество рациональных чисел, расположенных на отрезке [a; b]; можно перенумеровать, обозначив их r1; r2; : : : :

В точке r1 числовая последовательность fhn(r1)g1n=1 по предположению ограничена, поэтому из нее можно извлечь сходящуюся

подпоследовательность, т. е. существует последовательность чисел натурального ряда n(1) = fn(1)i g1i=1 (n(1)i < n(1)i+1) такая, что функ-

циональная последовательность fh (2) (x)g1 сходится при x = r2:

ni i=1

При этом она сходится и при x = r1 как подпоследовательность сходящейся последовательности.

17

Разряжая аналогичным способом числовую последовательность

Введем последовательность индексов fn(ii)g1i=1 (n(ii) < n(i+1i) ); где n(ii) это, очевидно, i -й член подпоследовательности n(i):

Тогда функциональная подпоследовательность fh (i) (x)g1 ис-

ni i=1

ходной последовательности fhn(x)g1n=1 сходится во всех рациональных точках отрезка [a; b]:

Действительно, в любой рациональной точке rk последовательность fhn(ii) (x)g1i=k сходится, так как является подпоследовательностью fhn(ik) (x)g1i=1; сходящейся в точке rk по построению.

Покажем, что fhi (x)g1i=1; где i = n(ii); является искомой подпоследовательностью исходной последовательности.

Зафиксируем произвольное сколь угодно малое число " > 0:

По определению последовательность fhi (x)g1i=1 равностепенно

непрерывна, следовательно, по выбранному " найдется > 0 :

8 i 2 N; 8 x0; x00 2 [a; b] : jx0 x00j ) jhi (x0) hi (x00)j "=3:

По построению последовательность fhi (x)g1i=1 сходится поточечно во всех рациональных точках rk из [a; b]; поэтому по выбранному

которых не превосходит : Пусть их окажется l штук.

Выберем в каждом отрезке по рациональному числу и обозначим их r1; : : : ; rl : Выбор возможен с силу всюдуплотности множества рациональных чисел.

Пусть N = max fNr1 ; : : : ; Nrl g; где константы Nr взяты из определения поточечной сходимости последовательности fhi (x)g1i=1:

Возьмем теперь произвольный x 2 [a; b]: Предположим, что он попал в промежуток с номером p: Тогда для 8 i ; j N по нера-

венству треугольника получаем jhi (x) hj (x)j jhi (x) hi (rp)j+ jhi (rp) hj (rp)j + jhj (rp) hj (x)j "; поскольку jx rpj и

справедлива оценка из определения равномерной сходимости. Итак, для 8 " > 0 нашелся номер N такой, что для 8 i ; j N

и для 8 x 2 [a; b] выполняется неравенство jhi (x) hj (x)j ":

18

Пояснение. Пусть, например, для сходимости функциональной последовательности fhn(x)g1n=1 в очередной рациональной точке из имеющейся на данный момент подпоследовательности требуется выкидывать все члены через одного, начиная с первого. Имеем:

n3 = 8; 16; 24; 32; 40; 48 : : : ;

n4 = 16; 32; 48; 64; 80; 96 : : : и т. д.

Выбирая теперь в i -й строке индексов i -й индекс, получаем, что fhi (x)g1i=1 = f h2(x); h8(x); h24(x); h64(x); h160(x); : : : g:

Замечание 8. По теореме Стокса-Зайделя предельная функция h(x); к которой равномерно относительно [a; b] сходится последовательность функций fhi (x)g1i=1; определена и непрерывна на [a; b]:

40: Доказательство теоремы о существовании решения. Теорема Пеано (о существовании решения). Пусть правая часть уравнения (1.1) непрерывна в области G; тогда для любой точки (x0; y0) 2 G и для любого отрезка Пеано Ph(x0; y0) существует не менее одного решения задачи Коши уравнения (1.1) с

начальными данными x0; y0; определенного на Ph(x0; y0):

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем произвольную точку (x0; y0) из области G и построим какой-либо отрезок Пеано Ph(x0; y0):

Выберем произвольную последовательность положительных чисел "n ! 0 при n ! 1: По лемме об " -решении для всякого n можно построить ломаную Эйлера n(x); проходящую через точку (x0; y0); определенную на Ph(x0; y0) и являющуюся "n -решением дифференциального уравнения (1.1) на отрезке Ph(x0; y0):

Тем самым, для 8 n 2 N и 8 x 2 Ph(x0; y0) точка (x; n(x)) 2 R

ивыполняется неравенство (1.8) j n0 (x) f(x; n(x))j < "n: Покажем, что последовательность ломаных Эйлера f n(x)g1n=1

на отрезке Ph(x0; y0) удовлетворяет лемме Асколи-Арцело. Последовательность n(x) равномерно ограничена, так как гра-

фик любой функции y = n(x) лежит в прямоугольнике R; а значит, j n(x)j jy0j + b для 8 x 2 [x0 h; x0 + h]:

19

Для доказательства равностепенной непрерывности зафиксируем произвольное " > 0: Выберем = "=M; где M = max jf(x; y)j:

летворяет условиям леммы Асколи-Арцело и из нее можно выделить равномерно сходящуюся подпоследовательность f i (x)g1i =1:

x2Ph

Пусть i (x) '(x) при i ! 1 (i ! 1 при i ! 1):

По замечанию 8 функция y = '(x) непрерывна на отрезке Пеано.

принадлежит R; а функция f(x; y) по теореме Кантора равномерно

Переходя в левой и правой частях равенства (1.9) к пределу при i ! 1; получаем тождество

означающее, что функция y = '(x) удовлетворяет интегральному уравнению (1.3) на отрезке Пеано Ph(x0; y0):

Следовательно, по теореме о связи между дифференциальным и

20