Высшая математика 1 курс

ò êèì î îì

ZZ

f(x; y; z) dS = lim

n

; yk

; zk) Sk

37

Xf(xk

Вычисл ни Sпо рхностн

!0 k=1

ð ë ï ð î î ðî

D

ïðî êöèÿ ïî ðõí ñòè S í

ïëîñ

ти Oxy, то ычисл ни по х

ностно о

èíò ð ë ï ð î î

ðî

с о итсякос ычисл нию

éíî î èíòð -

Åñëè

рхность S н ур

н интни м

ë

ZZ

z = z(x; y) ;

(x; y) 2 D

î

ZZ

q

0

2

2

f(x; y; z) dS =

f(x; y; z(x; y))

+

0

dxdy

38

S

1 + (zx)

zy

ê ï

ï ðõíD

.

ðõí

ìó

èíò ð ë

êî

ðî î ðî-

ли ноОри

хности

ð

Ïî

ëþ

îìó

óé, ñ

ð îïð ëüë

îé ñ

íû ï

ðхности,

. .

р мкнутл ния

íотурм ли к

ïî

щрхности,нн ы тся ор нт

й по трхносòíûéòè.

êò ðíî îï ë ôóíê-

Пусть н ор

нтиро нностий поöè

хности

S

û î

î

Äè ì òðîì

т рцияи ни

Rn

н ы тся м ксим льныйрис

è ì òðî

ÿ÷ ê.

ìó

í

ïî

рхнос

S, î

ù òñÿ ï ð

û÷ëü

ïîë

íè . Âû

Ïî

õíîñòü S òð õì ðí ì ïð

òð íñ

тся ст торонн

Ïðîè

ì ð

Rn

ýò é ïî

хности

n í

ï ïð

о к ющихся

Âû ð ì

ê îé íè

ÿ÷

ê

î íó

прои ольную точку c (x ; y ; z ) и сост -

öèÿ

~

~

~

~a(x; y; z) = ax(x; y; z)i + ay(x; y; z)j + az(x; y; z)k

k

k

им инт р льную сумму

~a(x ; y ; z ) S

k

k

=

n

n

X

k

k

k

~

k

~

k=1

êòîð, ëèí

òîðî î ð í ïëîù

k-é ÿ÷ éêè,

í

ë

S

è

î ï

ò ñ í ïð ë íè ì

êòîð

íîð

èòî

c .

î

ò-

îò è

ð

ð

исния R ,

íè

êîò

î÷ ê c , ò

îí í û òñÿ

íûì

ëîì

оро о ро ыпрто кторно о пîëÿ ~a(x; y; z) ïî

по прхноснит

S è îèíòî

÷ òñÿ ÷ò

k

ò ó

êî ÷íûé

ë ñóìì ëèn ïðè ÷ê! 0 í

исящий

Åñëè ñóù

ZZ

n

~

ZZ

k

k

ax dydz + ay dxdz + az dxdy

(5)

S

ð~a dS =

S

78

ò êèì î îì

ZZ

n

~a

~

X

~a(xk; yk; zk)

~

Åñëè

dS = lim!0 k=1

Sk

é

ðè

êòî íî ïîëS ~a(x; y; z) í ïð

í

í

êóñ ÷íî- ë

Ïî

рхнос

ð

ë

îðî

í û

ò ê

ï òî

ì êò

ì ííÿ ò

ïð

л ниинторм

к по орохности,т

пу оют му и нко пко рхннтироос -

íî î

инт р лтныйоро о роинт.

ó .

й по рхности S,

î

ð ë (5) ñóù ñ

й сторон

ð

òè

39

ïîëÿ ~a ÷

ïî

хность S. П ы хо к

ð

ñë íèð

ïî

ñòíî î

òîðî

ðî

ï

ВВычисл ни по

рхнострхнî î èíò èíòð ë òîðî î ðî îò

кторно о поля

ï

рхности S с о ится к ычисл нию по

хностно о

èíò ð ë ï ð î-

~

~

~

î ðî

~a(x; y; z) = ax(x; y; z)i + ay(x; y; z)j + az(x; y; z)k

ZZ

~

ZZ

(~að ~në) dS

S

S

~a dS =

~n иничн я норм ль к по рхности, или к ычисл нию суммы тр х

ойных

èíò ð ëî

ZZ

ZZ

~

ax( (y; z); y; z) dydz+

S

~a dS =Dyz

+ ZZ

ay(x; y(x; z); z) dxdz

+ ZZ

az(x; y; z(x; y)) dxdy

Dxz

Dxy

ííî í ïëîñ

D , D , D

про кции по рхности S соот

ñòè

Oyz,

Oxz,

Oxy, x(y; z), y(x; z), z(x; y)

ыр ния, получ нны и

40

Ï

í ÿ

ïî

íèþ

è

èò

ñ

íî î ï

ния п рхности S

ø

м относ

льно тстоо

тст ующих êî-

óðî èíò.

î

фиксирон ïрнн лй точки M0(x0

; y0

; z0), ~r

р лиусктор

ñ-

точкроиM0 по

н пр л нию s опр оля тся соотношокнилярм

ниоляs, ~r0

Ï ñòü ~s = (sx; sy; sz)

èí ÷íûé

рктои

íí î í ïð

п рмиунн й кточки M(x; y; z). Прои

í ÿ

ск лярнто

ïî

u(~r) = u(x; y; z)

u

= lim

u(~r0 + t~s) u(~r0)

@~s

79

t

t!0

и хГр кти ринтому тскскоростьлярно оиполям uния(~r) =u(u~r)(x; y;н zпр) н лыниитсяs.

кторно пол

grad u =

u

~

u

~

u

~

@x

i +

@y

j +

@z

k

Ïðîè î í ÿ ïî í ïð ë íèþ

û÷èñëÿ тся по формул

u = sx

u + sy

u + sz

u sz = ~s grad u

41

@~s

@x

@y

@z

íöèÿ

ðíî

ïîëÿ

~

~

ДиДир рнци й кткторно о п оля~

~a(x; y; z) = ax(x; y; z)i + ay(x; y; z)j + az(x; y; z)k

î î í ÷ ìîé ÷ ð div~a í û òñÿ ôóíêöèÿ

@az

42

à óññ -

div~a =

@ax +

@ay

+

@x

î î@y

@z

ïî î ë ñòè G, î

ничнии-

н шнр й норм ли, р н тройномумкну

ð

íîé ýòÒ éî

пом рхностью,Остро р снциè ýòо о лукторнос о поля, т.пр

Ï ò ê

S

(~aè~n) dS =

G

div~a dxdydz

òü S, í

ë

кторн о поля ~a ч

ZZZ

óþ ïî ðõí

43 Ð

ð

ZZ

ðí î ï

Рототором

êторно о

пололя

~

~

~

~a(x; y; z) = ax(x; y; z)i + ay(x; y; z)j + az(x; y; z)k

ëÿ òñÿ ñë -

î î í ÷ ìûì rot~a, í û òñÿ êòîðíî ïîë , êîòîðî î

ующим î ð îì

k

@az

@ay @ax

@az ïð @ay

@ax

i

j

rot~a =

~

~

~

=

@y

@z

i+

@z

@x

j+ @x

@y

k

@xa

@ya

@za

80

~

~

~

мкнут44 ЦиркТ муоðляцияконтуруì Ñòîкс ноно потокуля a поктпрои rotольному~a ч р кусочнопо рхностьл комуS, о р -

нич нную этим конктуром I

~

ZZ

rot~a

~

~a dl = S

dS

ой стр лки, сли смотр ть с конц ктор л норм ли к по итьрхностиS.

Ïðè ýò ì í ïð ë íè

о хо контур

î

о происхо

ïðî

÷ ñî-

45

Формул Грин

Если мкнутый контур и кторно пол

~

~

~a(x; y) = ax(x; y)i + ay(x; y)j

я формул Грин

л т н плоскости, то и т ор мы Стокñ ïîëó÷

I

ZZ

@ay

òñ

ax dx + ay dy =

@ax

dxdy

D

@x

@y

ñü D

ë ñ

ñ

р нич н контуром . При

î ñòü í

Oxy, котор я

этом о хо контур

ïðî

схотит

÷ ñî îé ñòð ëêè.

46

Ïî

íî

ктор о протиол

ð è íòомцин кîльторой функции f(x; y; z)

 êòîðíî ï

~a(x; y; z)

ы тся пот нци льным, сли оно я ля тся

~a = grad f

Функция f(x; y; z) этом случ н

ы тся пот нци лом кторно о поля

~a(x; y; z).

íöè ëü îñòè

кторно о поля

47

Óñëî èÿ ï

Í

о имым и ост точным

усло и м пот нци льности п ля ~a(x; y; z)

но оя хной о лотсти

G я ля тся р нст о нулю ротор этоо поля этой

î ë ñòè

~

81(x; y; z) 2 G

rot~a = 0 ;

ïîëÿ48 ÊðöèВычислльлинкрî íè êòîинтри олинлпрéíиролят рощîониюинтро потð ëнципотòîðîëíöèf(ëüíîx;ðîy; zî) ýòîîòêòïîòорнпоíëÿî-

ольиэтой крийныйо

Z

~

f(A)

A è B í ÷ ëî è êîí ö

~a dl = f(B)

ðè îé .

49

ьно кторно пол

ВСолкт рíîèïîë

~

~

~

~a(x; y; z) = ax(x; y; z)i + ay(x; y; z)j + az(x; y; z)k

н ы тся сол нои льным н котоðîé î ë ñòè G, ñëè è ð íöèÿ ýòî-

î ïîëÿ ð í íóëþ Gdiv~a =

@ax

+ @ay

+ @az

= 0

Â

ì ñèëó ò îð ìû Ã

@x

@y

@z

н нулю поток к

ññ -Îñ

êî î

торнкоо

ïîëÿ

ð ëþ óþ

птро рхность, прин л щую о л -

ñòè G.

ли оно о ноор м снно и пктотнцимкнутуюль о ничсол нои льно G, т. . сли

50

îíè÷

ê

ð î ïîë

ñêèì

н которой о л ти G, с-

ВГктормн

ïîë ~a í û òñÿ

~

ð

î

î ë ñòè G.

div~a = 0

ð Ã

rot~a = 0 ;

51

Îï

í

ì

î ûð èòü

и помощи п р то

ð

Âñ

îïð

мильтокт рн о н ëè

Ã

льттонции

ñèì îëè÷ ñêî î

êòîð ír (í ë ), îïð ëÿ ìî î ð í-

ñò î ìè

@x

82 @y

~

@z

~

~

r = i

+ j

+ k

î

сВционнойо2007т льныхо оу рСПпрооГУрт ИТМОльнммо уйт построРоссиилрпоммыонит¾Инно2007л м-2008конкциïðîñурснноыя. иннРсстлиом циïîонныхяин

íî ð

ñ

ñò

í

î ï êîë

ÿ

ë ñòè

íô

ì öè ííûõ

îï

÷

-

õ ò õí ë

è ¿ ïî

ëèò

ûéíè

í

ê ÷ ñò ííî

ñ

ûé

óðî

íü

ñò

ò

êè

ûïóñ

è ó ë

òü î ð ñ þùèé

ñï öè

ð

цикниконн é, оптич ской и ру их

ысокот хí л ичных

отрлислях

экоинфомики.

КАФЕДРА В С ЕЙ МАТЕМАТИКИ

ô ð

ð óð ñêîì

ûñø é ì ò ì

èêè - êð

éø ÿ

Ñ êò-Ï

îñóÊ ðñò ííî

омуни

информ

онных

ò õí ë

èé, ì õ íèêè

è

оптики. С

î íè

í

óïíé

ð îò ëè

ò êè

òû þùè ñ

þò ïð

òè÷

êè

ñ

итлыт

ò ì òèêè. Í ê

ñë

ë

ь мощня

ó÷ íû

ê

И.П.Ннт нрсосн,

Â.À.Ò ðò

циский, В.Н.Поп , И.А.Мол

,

ìè

êîммуник циями. Сотру

íèêè ê ô ðû

èíò

î

ëò óþò ñ ì óí

ÿ

øêîë ñ

ïî

ì òè÷ ñ

ìó ì

íò

ñ

ûõ ô

è÷ ñêèõ

ó÷íô

èêîé

í í

т хноло иями,

ê

ым компьют

мникок нто ы

А.Г.Ал ,ницын, В.В.Жук и ру и . Н учны

ð ñû ñ òðó

ï

ткоры-

ñ ñò

. Â ïîñë

ð ìÿ

êòè í ð

òñÿ ô ð î íî è,

ÿ

íí

ñ

ìè

учными ц

к к Россо иè,тутуник

êòèðó îì:

íè ðñèò ò ìè

ðî

учных про кто . Сл

ëîñü

т сно ниюучно с

ó íè÷ ñò

ñ

ðî

êîí

р нциях, р

откоютлиро мк х Р

сийских

ó è-

ð

é ôíûõ êîõèìèè

ôíîñ ñò ì

титутИнс

химии с

ëèê òðîò

ÐÀÍ è

униныхрсит том

Бнтрлинми нци(Г рм ния).

èì

Â.À.Ñò êëîñ ÐÀÍ, ëñ

òîó

ë íè

Ìðò

ñòè÷ ñêî î èíñ

Ñ

íêò-Ï

óð

êèì

ó

ðñò ííûì

ðñèò

îì, Ï

òð óð

êèìî ò

Ì ðñ ëÿ

Òóëî (Ôð

я), яскиля (Финлян ия), Гóм оль т орским