Высшая математика 1 курс

76

ÅñëèÄîñòфункцияточны yóñëî= f(xèÿ)

ыпуклостиифф рнцирфик

ð

(a; b)

этоми f00(интx) >р0 (лf00.(x) < 0), то

ð ûèê ÿ ëÿ òñÿ

ыпуклым т ( л рх) н

77

ï ð è

функции

è

èê èê

è.

н проти оп ло но , н ыèêтся точкой п

îì

÷êèî

f

(x) мияя т нык прлипр хор фчикрфункцииточк x0, то x0

78

ТТочкчк кот рой н прр фл ни ы уклости р

ì íÿ òñÿ

точны усл

точки

ï ð è

(x0) í

ñóù ñò ò. Åñëè ïðè

í ñòè

x0

, которой f

(x0) = 0 è

f

эточкДостпрор и н р

èê

функции.

èôô

нциру м

которой окр ст-

Пу ть функци

y = f(x)

З ни функциякторункции

~a = ~a(t

носильно нию тр х ск лярных

79

Â

ð-

00

00

00

ðÿò, ÷òî í ìíî ñò

òîð ~a(t)

ñò , òî

î

ë

соокто тст

Åñëè

ìó ÷ íèþ é ò èò ëü

é ï ð ì ííîé t 2 D R, ïîñò

-

функций ax(t), ay(t), az(t)

коопросинтр н ктор ~(t):

D

êòîð-

ÿ

éñò èò ëü îé ï

ì ííîé ~a = ~a(t).

~a(t) = (ax(t); ay(t); az(t)) = ax(t)i + ay(t)j + az(t)k

80

î ð ô

ð-

~

~

~

ì ÿ

ÃÃî ð ôîì

р-ффункции~a = ~a(t) н ы тся линия, опис

простр нст концктом ктор ~a(t). П р м тричско ур н ни оы о р ф

81

Ï

x = ax(t) ;

y = ay(t) ;

z = az(t)

î í ÿ êòîð-ôункции

ð

íòó t í û òñÿ íî ÿ

Ï

роионой ктор-функции ~a = ~a(t) ïî

кторо-функция

0

(t) =

~a

=

lim

~a(t +

t)

~a(t)

~a

dt

t

Åñëè ~a(t) = (ax(t); ay(t); az(t

t!0

, ò

0

~a

0

())t = ax(t); ay(t); az(t)

0

0

0

т льной к о о р фу

Ïðîè î í ÿ ~a (t) ñòü êòîð, í

ë

ííûé ïî ê

ктор функции ~a(t) сторону

î ïðñò íèÿ ð óìóìíòñ t.

48

Ãë 4

слм нныхни функций

1

Äèôô ð í ñêîëüíî

ï

îñ

ïëîñ

остисчи

простр нс

í

û òñ

ю рнцииу н точки

M0 н плоскости или

ìíî ñòòî

òî÷ñ ê M

êèõ,

÷òî ð(M; M0) < ,

(M; M0)ò ð ñ-

ùè

D.

ыо стся мноЗ стмкнутоо, прострс р щнстстñ ñ îèí

ð íè÷-

стояниОкр мстностьу очк ми M и M0.

тсВнутрм î ñò î, ñ

точки ко орост о нутр ннио.

ïð ð ñ ë

котоГр йничнхо я ся к к т чки мно ст

D,

к и точки, н

2

íÿÿ òî

ìí

. Откры

ÿ

ìí

стчко, н которой

îêð ñòí

é ò ÷êîé ìí

D

û

ти ко оройчкл

от слько

.

î÷êè ìíî

êDÿ.

Открытым н ы -

3

îé

òî÷ê

ìí

û òñÿ

ìí

ëþ îé

ê

тности

очкой мн

ñò D í

֐ ,

мноО рстЗничомкнутымо тся н

ð íè÷

ííûì.

4

ìíî

íû òî÷êè.

ò è

íí

число.

ëè ìíî

ò ÷ê M 2 D ïîñò ëòðí ñò îîî

окр стности

û òñÿ ìí

ò î,

òîðî ñ ð

ÿ í êî îðîé

÷ ë

êîî

èí

, сли т койкокр стности нитсущ ст у т, то

é

ñ

óõ ï ð ì ííûõ. Åñëè D ë îèò

с простринс

,

òî

î îðÿ

о функции

5

D ïðèíóõë

плоскост

,òñî ò

֐

M 2 D

ïð

ëÿ Åñò ÿ

óìÿ

Функции

õ ï ð ì ííûõ

ñÿ

-

èí

ÿòìè M(x; y)èò,

функция z = f(M) = f(x; y) н

, ÷òî í ìíî

D

í

èñëî ÿ ôó êöèÿ, ñëè

îé

u = f(M) = f(x; y; z) òð

ï ð ì ííûõ. Ìíî ñò î D í û òñÿ î êë ñòüþ

коопр т ол ния

.

óõ ï ð ì

6

я тся по рхность

функцииè z = f(x; y) унныхп р м нных

трГрхмфикорн м

простр нст , точки (x ; y0; z0) которойяу ло л т оряют ур -

50

7í íèþ

óðî

по рхностиz0 = fóðî(x0; yíÿ0)

пл кости Oxy, о

ñ

Линиия уро няфункции z = f(x; y)

ýò ëè è í

õ òî

торой f(x; y) = c, c

постоянн я. П рхность уро ня

c,

c

чкпостх коянн я.

íè÷ ííîé í

Функцèÿ

скольких п р м нных f(M) н ы чктсях о

функции u = f(x; y; z) это по рхность, о с х то

котосрой f(x; y; z) =

8

Î ð í

÷

ñëè ñóù

í ñê

èõ ï ð ì ííûõ

ìíî ñ

D,

т т постолькянн я C, что ля с рх M 2 D ы-

полня тся н рнн яст о jf(M)j 6 C.

f(M) òî

M0,

ñëè

ÿ

Число A

функциятс олькм ф

9 Ïð ò ë

ñ

èõ

ð ì ííûõ

íяться

í р функциий сò î jf(Mïð)

Aj < .

Зункциип сы ют

ýòî ò ê

î î > 0 í

ñÿ Æ > 0 ò

êî ,÷òî

ÿ

õ î÷ ê M ÷êè î ë ñòè îïð

è

ôó êöèè,

û

л т о яющих ус ло

þ 0 < d(M; M0) < Æ,

у т лыполю-

lim

f(M) = A

10 Í ïð

M!M

0 скольких п р м

сть функции

Функцияры скнîльких п р м нных f(M) н ы тсянныхпр ры ной точ-

ê M0

,

ëè

+ x;

соот Чтстстнынно лè÷èí x

lim

f(M) = f(M0)

M!M

ÿ

û

ÿ

0

D, ñ

î í

ð í

îé

ïð ðû íîé í ìí ñò

÷ê D. Åñ

функция f(M) н ры н

í

мкнутом о р ич н-

ì ìíî

, òñîí

î ð

í

í ýòîì ìíî ñò ëè îñòè ïðò íû í ì

Функцис оих и ольш о лин им

íüø î

н чпрний.

11

ò ïðî

íè÷

×

íûyz = f(x; y + y) f(x; y)

тными прир щ оиями функции z = f(x; y) по x и по y н ы ются

51

нЧ стнымиы ютс прос иот îòñòныминнфунêöèèëè÷ íûz = f(x; y) ïî x è ïî y òî÷ê M(x; y)

@xz =

limx!0

xxz ;

y

=

limy!0 yyz

ðè ó ëî èè, ÷òî ýòè ïð ëû ñóù ñò óþò. Äëÿ ÷ ñòíûõ ïðîè î íûõ èñ-

ïоль уются т к ру и о о н ч ния

z

0

0

z

0

0

(x; y)

12

@x

= zx

= fx(x; y) ;

@y

= zy

= fy

.

ð íöè-

р нцир мы функции ух п р м

ПрирДиффщ ни м ф

z = f(x; y)

òî÷ê M

нныхы Диффтся личин

Функция

= f(

ункцииы тся ифф

íö ðó ìîé

òî÷ê M(x; y), ñëè

ë

z = f(x + x; y + y) f(x;y)

ïðèð

íè ýòîé òî÷ê ïð ñò èìî è

+ ( y)2

ùz

= A(x;y) x + B(x; y) y + o(ð) ;

= p( x)2

 ýòîì ñëó÷ òî

M(x; y) у функции z = f(x; y) сущ ст уют ч стны

прои о ны , приччкм

z0

= A(x; y) ;

z0

= B(x; y)

Îè î íû , òî îí

èôô ð íöèð ì ÷ê ýòîé òî .

x

y

ïð ðû íû ÷ ñòíû ïðî-

13

р тно, сли функция им т то

M(x; y)

Äè

ð

п мчкнных

Äèôôфр нцинцимлф

ухп р мрнных z = f(x; y) н ы тся -

dx =

x, dy = y функциир нци лы

симых п р м нных.

14

ïðîè îíû

ñëî íîé

функции

личин

dz = z0 dx + z0

dy

x

y

я ляЧтсстныя ло ной функциффй п р м нных x;y.

Ï òü z

= f(u; v), ïðè÷ ì u = u(x; y), v

= v(x; y). Òî î îðÿò, ÷òî

функци

z = f(u(x; y); v( y))

52

× ñòíû ïðîè î íû ñëî ной функцèè н хо ятся по формул м

èëè ðó èõ î î í ÷ íèÿõ

x

@uz

x

@z

x

@yz

=

@uy

+

@yv

x0

= z

0

0x

0

x0

z

y

u

y

+ z

v

y

15

u

v

í ÿ ñëî íîé ôóíêöèè

По нПолнпроия проин я этойо

функции ïî ï ð ì ííîй t ычисля тся по фор-

Пусть z = z(t; x; y), прич м x = x(t), y = y(t). То z кон чном сч т

èñèò ò ëüêî

ò t

z = z(t; x(t); y(t))

ìóë

z

z

y

=

z

+

z

x

+

16

Вторы

dt

@t

@x

dt

@y dt

íû

проымио нытнымиоч стны пðîèûõ î÷íûстныхми ункцпро èè î íûõ. Èõ î îûí ÷ þò ò ê

Âò

÷

(zx)y

= zxy = @x@y ;

ô

(zy)x

z = f(x;

) í

þòñÿ ÷ ñò-

;

= zyx = @y@x

0

(z0

)0

= z00

=

2z

(z0

)0

= z00 =

2z

Ïðîè î

z00

0 x x

00

xx

2zx2

0

y0

y

00 yy

2z2

è z00

í û

ÿ ñì ø

. Åñëè

ð ññì è ìîé

ò

ñì íûø

íû ïðîè îíû

í ïð ðû íû, ò

îíè ð

íû

ýò

йтрочк .

Ан ло ично опр ляются чютстны проннымиî íû îë

ûñîêèõ ïîðÿ -

êî÷ê.

xy

yx

ðîé

ð

17

ом ффункцииz = f(x; y) н ы тся ифф р нци-

Вторым и

ð íöè

îÂò ï ð î èôôî ôô

íöèð ë ë

dy = z00

dx2

+ 2z00 dxdy + z00

dy2

ë dx2

d2z = d(dz) = (dz)0

dx + (dz)0

= (dx)2

= x)2

x

y

xx

xy

yy

3

, dy2

= (dy)2

= ( y)2.

z,

Àí ëî

о опр ( ляются ифф р нци лы ол ысоких поря ко d

d4z è ò.è÷í..

53

(18n +ÅñëèФормул1)- î ïòî÷êðÿ ÒêMéë(x;ключитyð)zфункция=ëÿfëü(x +î,zòîx;= yf+(x;ïðèðyy)óõ)èìùïf(íèòðx;÷yì)ñòíûíûõïðîè î íû î

ííîé òî÷ê ìî íî

ïèñ òüôóíêöèè

= p

1!

2!

n!

+ o( n) ;

x)2

+ ( y)2

z = dz + d z

+ : : : + d z

êð ñ

19

РНссмотримя ны

функцииур ни F (x; y; z) = 0. Åñëè

F (x0; y0; z0) = 0 è

è èõ èôô ð íö ðî

Ï è ýò ì ôóòí öèÿ z = f(x; y) íòïð ðû èí

èì òíè( пр ры ны ч остны

ò ðîé îêð ñ

îñ

точки

(

0; y0) èì ò

ñò ííî

ð ø íè z = f(x; y).

н сти точки M0(x0

; y0

; z0) ñóù ñ

óþò í

ð

û

÷ ñòíû ïðîè

ïðîè î íû ,

êотиоры опр ляются по фопр муë ì

F x; y; z) = 0

í êî-

F 0

, F 0, F 0

, ïðè÷ ì F

0

(x

; y

; z

) =6 0, òî óð ûí

x

y

z

z

0

0

0

0

x

;

0

y

zx

= F0

zy

= F

0

20

Â

ð íî

z

z

к по рхности

y), òî êòîð íîðì ëè ê

Есликтоп рхностьрм ли тся ур н ни м z = f(

N = F (x ; y ; z ); F (x ; y ; z ); F (x;

; y ; z )

по рхности точк M(x0

; y0

; z00) (z0

= f(x0

; y )) ð í

~

N = ( f (x ; y ); f (x ; y ) 1)

норм ли к по рхности

òî÷ê

M(x0; y0

; z0) (F (x0

y0

; z0) = 0) ð í

Åñ

x

0

0

y

0

0

по рхность тся н я но ур н ни м F (x; y; z) = 0, то ктор

~

0

0

0

x

0 0 0

y

0 0 0

z 0 0 0

21

Ê ñ ò ëüí ÿ

скость к по

рхности

z0 = f(x0

; y0)) èì

ò

льной плоскости кплî рхности

ò

M(x0

; y0; z0)

Если по рхность тся ур н ни м z = f(

y), òî óð í íè ê

-

ò

z = f(x ; y ) + f

0

(x ; y )(x֐ x ) + f

0

(xx;y

)(

y )

ни к с т льной плоскос

к по рхности к по рхности точк M(x0; y0; z0)

Если по рхность

ÿ í ÿ

óð í íè ì F (x; y; z) = 0, òî óð íñ -

(F (x0

; y0

0

0

x

0

0

0

y

0

0

0

; z0) = 0 èì ò òèòñ

; y

; z

)(y y

) + F

0

(x

; y

; z

)(z z

) = 0

F

0(x

; y

0

; z

)(x x

) + F 0

(x

0

x

0

0

0

y

0

0

0

0

z

0

0

0

54

èz22=ÒîfрТочки÷ê(ëx;ìyòííûõ)M,îðÿ0ì(ñëèxксимум0т; yн0)рннкоторойнсы, минимумутсяfокр(x;точкойyстности) > fэкстр(xточки0; y0)ìóì(сооM0(мфункцияфункцииксимумтст нно)прфf(ункцииóõx; yëï) <-

f(x0

; y0))

Ò ÷êè

имумт

и минимум минимумы ютсят очк ми экстр мум

функции.

имы ксусло

функции ух п р м нн

õ

23

Åñëè

î÷ê ýêñ

ì

мияфункциямумим

ï ð û ÷ ñòíû ïðîè î íû

,

òî î

ð ù þòñÿ

этой точкэкстрнуль.

Îòñþ ñë ó

, ÷òî

ëÿ í õî

èÿ

Нчо хэкстр мум

ôóнкции z = f(x;

0

) ñë ó ò ð øèòü ñèñò ìó óð -

í íèé

0

þòñÿ

коор тич скими точк ми функции. Ср и критич ских точ к мо ут

Точки,

ð í òû

fx(x; y) = 0 ;

fy(x; y) = 0

óð í íèé, í

û

î îðûõ

î ë

ðÿþò ýòîé ñ ñò ì

ûòü

÷êè

имумтр

минимум т, от к точкè, н я ляющи ся точк -

ми экстр мум ксфункциè.

ры чДосттны прои

î

ия. Если тэтой точк ыполня тся услоыи

24

точны

óñëî

экстр мум функции

óõ

ì ííûõ

Пу ть функция z = f(x; y) им

критич ской точк

í ïð ð

íû òî-

=íû

z

00

z

00

= zxxzyy

(zxy) > 0

00

0

00

2

òî îí ÿ ëÿ

ÿ

очкой

xxy

xy

00

> 0 и точкой м

èìóì

è

zxx

мум . ВЕслуч

= 0 тр тся опрлнито

ëüíî

èññë î íèêñ