4.2. Сочетания и их свойства

Рассмотрим ситуацию, в которой из множества требуется выбрать группы, содержащиеэлементов из данных,, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Причем порядок расположения элементов не имеет значения. Очевидно, что количество таких групп будет меньше, чем число размещений изпово столько раз, сколько существует перестановок изэлементов, а именно.

Определение 1. Подмножества, состоящие из элементов, выбранных из данных, отличающиеся друг от друга по крайней мере одним элементом (без учета порядка расположения элементов), называютсясочетаниями из элементов по .

Число сочетаний обозначается символом , где– первая буква от английского словаcombination – сочетания.

Пример 1. Для участия в научной конференции требуется направить четверых сотрудников из 32 сотрудников отдела. Сколько существует вариантов выбора представителей?

Решение

Поскольку для выбора представителей важен только состав участников, но не важно, в каком порядке происходило их выдвижение, то количество всевозможных вариантов равно числу сочетаний из 32 по 4:

.

Пример 2. Решить неравенство .

Решение

В силу определения сочетаний значениями переменной могут быть только целые числа от 1 до 10. Используя формулу сочетаний, запишем неравенство в виде.

Разделим обе части неравенства на и получим. Откуда, или. Учитывая ограничения на, получаем множество решений данного неравенства.

Число обладает рядом свойств. Укажем без доказательства некоторые из них:

1. , в частности ;

2. ;

3. .

Доказательства перечисленных свойств можно получить непосредственно из определения сочетаний.

4.3. Выборки с повторением

Перестановки, размещения и сочетания представляют собой примеры бесповторных выборок, поскольку каждый элемент множества может быть взят только один раз. Теперь рассмотрим ситуацию, при которой выбранный элемент возвращается в первоначальное множество, и его вновь можно выбирать.

Пусть дано множество, состоящее из различных элементов. Зафиксируем некоторое натуральное число и вычислим, сколько существует способов составить группы, содержащиеэлементов из данных, причем каждый изэлементов может быть выбран более одного раза. Первымэлементом может быть любой из элементов множества, т. е. для выбора первого элемента существуетспособов. Поскольку каждый элемент можно выбирать неоднократно, то второй элемент можно выбрать такжеспособами. Рассуждая подобным образом, получим, что каждый изэлементов можно выбратьспособами. Согласно комбинаторному принципу умножения получим, что общее число выборок поэлементов из данных равно . Указанная выборка называетсяповторной. Заметим, что ограничение, справедливое для бесповторных выборок, , не работает в случае повторяющихся элементов. Для повторных выборок числоможет быть как больше, так и меньше либо равным.

На рис. 40 представлена схема определения выборок, которой можно руководствоваться при решении задачи.

Рис. 40

Пример 1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 8 при условии, что цифры в числе могут повторяться?

Решение

Из множества, содержащего различных элементов, нужно составить выборки, содержащиеэлементов. Поскольку цифры в числе могут повторяться, то общее число всевозможных выборок.

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

1. Сколькими способами из группы, содержащей 15 человек, можно выбрать четверых для участия в профсоюзном собрании?

2. Сколько четных чисел можно составить из цифр 1, 2, 5, 4, 0?

3. Сколько существует вариантов ответа на тест из 10 вопросов, если на каждый вопрос требуется ответить «да» или «нет»?

4. Сколько различных автомобильных номеров можно составить из двух букв и идущих за ними трех цифр, если используются все буквы русского алфавита?

5. Сколько существует различных шестизначных телефонных номеров, которые не начинаются с цифр 0, 1, 9, 8?

6. Вычислите:

а) ; б); в); г).

7. Вычислите:

а) ; б); в); г).

8. Вычислите:

а) ; б); в); г).

9. Вычислите:

а) ; б); в); г).

10. Проверьте равенства:

а) ; б).

11. Решите уравнения:

а) ; в);

б) ; г).