Глава 11. Уравнения максвелла Основные формулы и соотношения

1. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме:

; ; (11.1)

; , (11.2)

где – ток смещения.

2. Формулы преобразования полей при переходе от К-системы отс­чета к движущейся по отношению к ней со скоростью К’-системе:

; ; (11.3)

, , (11.4)

где символы иобозначают составляющие полей, параллельные и перпендикулярные к вектору.

3. Плотность потока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга S) и объемная плотность энергии электромагнитного поля W:

. (11.5)

. (11.6)

4. Для медленно меняющихся полей () справедливо квазистационарное приближение:

; ; (11.7)

; ; (11.8)

Используя данные уравнения, получаем выражения для полей:

; (11.9)

. (11.10)

Примеры решения задач

Пример 1. Сравнить величину токов проводимости и смещения в среде с проводимостью и относительной диэлектрической проницаемостьюдля частоты поля.

Решение. Ток смещения в среде обусловлен переменным электрическим полем . Отсюда мгновенное значение плотности тока прово­димости j, обусловленное этим полем, находится по закону Ома:

. (11.11)

Плотность тока смещения находится как

. (11.12)

Из формул (11.11) и (11.12) получаем:

. (11.13)

Отношение амплитудных значений:

. (11.14)

Пример 2. Найти электрическое поле, создаваемое точечным зарядом q, движущимся с постоянной скоростью v.

Решение. В собственной системе отсчета заряда имеется лишь электрическое поле с напряженностью

. (11.15)

Применяем формулы преобразования полей (11.3) и (11.4), получающиеся обращением данных, т. е. выражаем поле в неподвижной системе координат К через поля в движущейся системе К’:

; (11.16)

.(11.17)

где . Из формул (11. 16) и (11.17) имеем:

. (11.18)

Подставляя в это выражение формулу (11.15), и учитывая, что

(11.19)

получаем ответ:

. (11.20)

Пример 3. Найти глубину проникновения квазистационарного поля в проводник, занимающий пространство z > 0. Проводимость материала проводника , магнитная проницаемость.

Решение. Выберем поверхность проводника в качестве плоскости z=0. Ввиду однородности задачи по направлениям x и y искомое поле зависит только от координаты z. В квазистационарном приближении уравнения для Е и Н выглядят следующим образом:

, ,

где .

Решение уравнения имеет вид:

,

где – глубина проникновения поля в проводник.

Задачи

1101. Две частицы, масса каждой из которых равна m, а заряды q и -q движутся под действием электрического притяжения по окружности вокруг общего центра масс так, что соединяющая их прямая вращается с угловой скоростью . Найти плотность тока смещения в центре этой системы. (Ответ:) .

1102. Точечный заряд движется с нерелятивистской скоростью v = const. Воспользовавшись теоремой о циркуляции вектора Н по окружности, плоскость которой перпендикулярна траектории, найти магнитное поле H в точке А на этой окружности как функцию радиус-вектора r и скорос­ти V заряда. (Ответ: ).

1103. Доказать с помощью уравнений Максвелла, что переменное во времени магнитное поле не может существовать без электрического по­ля (неоднородного в пространстве).

1104. Вывести из уравнений Максвелла закон сохранения электричес­кого заряда: , где– плотность заряда; j – плотность тока.

1105. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющи­ми форму круглых дисков, заполнено однородной, слабо проводящей сре­дой с удельной проводимостью и диэлектрической проницаемостью. Найти напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянииr от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение . Расстояние между обкладками d, краевыми эффектами пре­небречь. (Ответ:).

1106. Длинный прямой соленоид имеет n витков на единицу длины. По нему течет переменный ток . Найти плотность тока смещения как функцию расстоянияr от оси соленоида, радиус сечения которого R. (Ответ:;).

1107. Точечный заряд движется с нерелятивистской скоростью v = const. Найти плотность тока смещения в точке, находящейся на расстоянииr от заряда на прямой, перпендикулярной к траектории и проходящей через заряд. (Ответ: .

1108. Определить электрический дипольный момент плоского линейного кругового тока J радиуса а, перемещающегося со скоростью V, магнит­ный момент кольца равен . (Ответ:).

1109. Показать, что вращательное движение среды не приводит к ге­нерации магнитного поля.

1110. Найти характерное время рассасывания свободных зарядов под действием кулоновского отталкивания в однородной и изотропной среде с диэлектрической проницаемостью и проводимостью . (Ответ: ).

1111. Доказать, что отсутствие сопротивления у сверхпроводников является следствием эффекта Мейсснера (внутри сверхпроводника маг­нитное поле В = 0).

1112. В инерциальной -системе отсчета имеется два однородных взаимно-перпендикулярных поля: электрическое (напряженностью Е = 40 кВ/м)и магнитное (индукцией В = 0,20 мТл). Найти индукцию В поля в системе , где наблюдается только одно магнитное поле. Указание – воспользоваться инвариантами поля. (Ответ: В = 0,15 мТл).

1113. Пластина из неферромагнитного металла движется со скоростью V = 90 см/с в однородном магнитном поле В = 50 мТл. Вектора V и В лежат в плоскости пластины и перпендикулярны друг другу. Найти по­верхностную плотность электрических зарядов, возникающих на пластине вследствие ее движения. (Ответ: ).

1114. Длинный цилиндр радиуса а из диэлектрика с проницаемостью вращается с постоянной угловой скоростьювокруг своей оси во внеш­нем однородном магнитном поле В, причем. Найти поляризованность диэлектрика как функцию расстояния от оси цилиндра. (Ответ:).

1115. Нерелятивистский точечный заряд q движется с постоянной ско­ростью V. Найти с помощью формул преобразования полей индукцию В магнитного поля этого заряда в точке, положение которой относительно заряда определяется радиусом-вектором r. (Ответ: ).

1116. Доказать инвариантность (т. е. независимость от системы отсчета) следующих величин: () и.

1117. Показать с помощью формул преобразования полей, что если в инерциальной k-системе отсчета имеется только электрическое или только магнитное поле, то в любой другой инерциальной k'-системе бу­дут существовать как электрическое, так и магнитное поля одновремен­но, причем Е' = ∫ В'.

1118. По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток . Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участ­ка данного проводника, имеющего сопротивление R. (Ответ: ).

1119. Шар радиуса R = 50 см находится в немагнитной среде с диэ­лектрической проницаемостью . В среде распространяется плоская электромагнитная волна, длина которойи амплитуда электричес­кой составляющей Е₀ = 200 В/м. Какая энергия падает на шар за время t = 1 мин? (Ответ: W = 5 кДж).

1120. Найти средний вектор Пойнтинга <S> у плоской электромагнит­ной волны , если волна распространяется в вакууме. (Ответ:).

1121. Плоская электромагнитная волна с частотой = 10 МГц расп­ространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостьюи диэлектрической проницаемостью. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения. (Ответ:).

1122. Солнечные лучи при перпендикулярном падении ежесекундно при­носят на земную поверхность поток энергии . Вычис­лить среднеквадратичные значения векторов Е и Н в солнечных лучах. (Ответ: Е = 750 В/м; Н = 2 А/м).

1123. Полупространство z > о заполнено проводником с проводимостью , магнитной проницаемостью. Параллельно плоскости z = 0 имеется электрическое поле. Найти поле в проводнике. (Ответ:).

1124. Металлический шар радиуса а с проводимостью и магнитной проницаемостьюпомещен в однородное переменное поле. Считая частоту малой (квазистационарное прибли­жение), найти среднюю мощность, поглощаемую шаром. (Ответ:).

1125. Металлический шар помещен в однородное магнитное поле, меня­ющееся с частотой . Найти среднюю поглощаемую шаром мощность при больших частотах. Радиус шараа, магнитная проницаемость , проводи­мость. При определении поля внутри шара считать его поверхность плоской. (Ответ:).

1126. Найти плотность тока смещения в плоском конденсаторе, плас­тины которого раздвигаются со скоростью V₀, оставаясь параллельными друг к другу, если разность потенциалов U между пластинами остается постоянной. (Ответ: ).

1127. Показать, что при разрядке сферического конденсатора, ток проводимости на его обкладках совпадает с током смещения.

1128. Найти сопротивление 1 см цилиндрического провода радиуса для переменного электрического поля с частотой. Проводимость мате­риала провода, для описания электрического поля использовать ква­зистационарное приближение. (Ответ:).

1129. Найти эдс Е униполярной машины, представляющей собой постоянный сферический магнит радиуса с магнитным моментом М₀, вращаю­щийся с угловой скоростью . Один из подвижных контактов расположен на полюсе, а другой – на экваторе. (Ответ:).

1130. Определить магнитный момент неравномерно вращающегося шара радиуса . Проводимость материала шара, угловая скорость вращениясчитается малой, так что глубина проникновения поля. (Ответ:).