- •Теория вероятностей
- •Введение
- •1. Случайные события. Вероятность событий
- •1.1. Элементы комбинаторики
- •1.1.1 Повторные выборки
- •Число способов выбора двух элементов
- •Число выборок из трех элементов
- •1.1.2. Бесповторные выборки
- •1.2. Основные понятия теории вероятностей
- •1.3. Алгебра событий
- •1.4. Частота события
- •1.5. Статистическое определение вероятности
- •1.6. Классическое определение вероятности
- •1.7. Свойства вероятностей
- •0Р(а)1.
- •1.8. Геометрические вероятности
- •1.9. Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность
- •1.10. Теорема сложения вероятностей
- •1.10.1. Вероятность суммы событий
- •1.10.2. Вероятность появления хотя бы одного события
- •1.11. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •1.11.1. Формула полной вероятности
- •1.11.2. Вероятность гипотез. Формула Байеса
- •2. Повторные независимые испытания
- •2.1. Формула Бернулли
- •2.2. Формулы Лапласа
- •2.2.1 Локальная теорема Лапласа
- •2.2.2. Интегральная теорема Лапласа
- •2.3. Формула Пуассона
- •2.4. Простейший поток событий
- •3. Случайные величины
- •3.1. Понятие случайной величины
- •3.2. Законы распределения дискретных случайных величин
- •3.3. Законы распределения непрерывных случайных величин
- •3.3.1. Интегральная функция распределения
- •3.3.2. Показательный закон распределения
- •3.3.3. Дифференциальная функция распределения
- •3.3.4. Равномерное распределение
- •3.3.5. Распределение Коши
- •4. Числовые характеристики случайных величин
- •4.1. Математическое ожидание и его свойства
- •4.1.1. Математическое ожидание
- •4.1.2. Свойства математического ожидания
- •4.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
- •4.2.1. Дисперсия случайной величины
- •4.2.2. Свойства дисперсии
- •4.2.3. Среднее квадратическое отклонение
- •4.3. Моменты случайных величин
- •4.4. Примеры нахождения законов распределения
- •5. Нормальный закон распределения
- •5.1. Геометрический смысл параметров m и σ
- •5.2. Вероятностный смысл параметров функции распределения
- •5.3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
- •5.4. Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания
- •6. Системы случайных величин
- •6.1. Функция распределения
- •6.2. Плотность распределения
- •6.3. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин
- •6.4. Зависимые и независимые случайные величины
- •6.5. Операции над случайными величинами
- •6.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •6.6.1. Ковариация двух случайных величин
- •6.6.2 Коэффициент корреляции
- •6.9. Двумерный нормальный закон распределения
- •7. Предельные теоремы теории вероятностей
- •7.1. Центральная предельная теорема
- •7.2. Интегральная теорема Лапласа
- •7.3. Распределение частоты события
- •7.4. Закон больших чисел
- •7.5. Неравенство Чебышева
- •7.6. Теорема Чебышева
- •7.7. Теорема Бернулли
- •7.8. Принцип практической уверенности
- •7.9. Правило трёх сигм
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Рекомендуемый Библиографический список
- •Теория вероятностей
- •680021, Г. Хабаровск, ул. Серышева, 47.
4.1.2. Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.
Постоянная С принимает это значение с вероятностью, равной единице, и по определению М(С)=С1=С.
Свойство 2. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий.
Ограничимся доказательством этого свойства только для суммы двух дискретных случайных величин, т.е. докажем, что
Под суммойдвух дискретных случайных величин понимается случайная величина, которая принимает значенияс вероятностями.
По определению
но ,
где – вероятность события, вычисленная при условии, что. В правой части последнего равенства перечислены все случаи появления события, поэтомуравна полной вероятности появления события, т.е.. Аналогично. Окончательно имеем
.
Свойство 3.Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Приведем доказательства этого свойства только для дискретных величин. Для непрерывных случайных величин оно доказывается аналогично.
Пусть ХиУнезависимы и имеют законы распределения
Х |
|
|
… |
|
, |
Р |
|
|
… |
|
У |
|
|
… |
|
. |
Q |
|
|
… |
|
Произведением этих случайных величин будет случайная величина, которая принимает значения с вероятностями, равными (в силу независимости случайных величин). Тогда
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
Так как постоянная С не зависит от того, какое значение примет случайная величина X, то по свойству 3. имеем
М(С·Х)=М(С)М(Х)=СМ(Х).
Если a и b постоянные, то М(а·Х+b)=а·М(Х)+b.
Пример 4.4.
Математическое ожидание числа появления события в схеме независимых испытаний.
Пусть производится n независимых опытов, вероятность появления события в каждом из которых равна р. Число появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х, распределённой по биномиальному закону. Однако непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. Число появлений события в n опытахсостоит из числа появлений события в отдельных опытах, т.е.
где имеет закон распределения, рассмотренный в примере 3.2 (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).
|
0 |
1 |
. |
Р |
1-р |
р |
Поэтому илит.е. среднее число появлений события вnнезависимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.
Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1, то среднее число попадания в 20 выстрелах равно 200,1=2.
4.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дают представление о разбросе случайных величин относительно их среднего значения.