t_r_teoriya_veroyatnosteypdf

ВАРИАНТ № 23.

Задача №1. В лотерее 24 билета, из них 10 выигрышных и 14 пустых. Какова вероятность того, что из трех вынутых билетов по крайне мере один окажется выигрышным?

Ответ: 0,8202.

Задача №2. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик наудачу взял один валик, а затем другой. Найти вероятность того, что первый валик будет конусный, а второй – эллиптический. Ответ: 7/30.

Задача №3. На склад поступают одинаковые электрические утюги. Первый завод поставляет 80%, второй - 20% всего количества. Известно, что первый завод выпускает 90% продукции, способной прослужить положенный срок, а второй - 95%. Взятый наудачу утюг со склада прослужил положенный срок. Какова вероятность того, что этот утюг поступил с первого завода? Ответ: 0,7912. Задача №4. Вероятность всхожести семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность того, что из 6 семян взойдет 4? Ответ: 0,0984. Задача №5. Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25% всего количества волокон. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом пучке, если наивероятнейшее

составляет 95%. Найти вероятность того, что из 150 посеянных семян взойдет 90%.

Ответ: 0,0029.

Задача №7. Вероятность всхожести семян гороха в среднем составляет 0,875. Определить вероятность того, что из 1000 семян число не проросших будет от 220 до 280.

Ответ: 0. Задача №8. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0,010. Произведено 100 выстрелов. Определить вероятность двух попаданий. Ответ: 0,1839. Задача №9. Две независимые случайные величины заданы законами распределения:

Составить законы распределения суммы и произведения этих случайных величин.

Задача №10. Случайная величина задана функцией плотности

0 при x 0,

Определить функцию распределения этой случайной величины и вероятность Р(0<Х<π/2).

Ответы: Р(0 < Х < π/2) = 1/2;

25

ВАРИАНТ № 24.

Задача №1 (Задача Даламбера). Бросают монету два раза подряд. Какова вероятность того, что хотя бы один раз появится герб?

Ответ: 0,75.

Задача №2. В тире имеется 5 ружей, вероятность попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу.

Ответ: 0,7. Задача №3. Бросают 10 игральных костей. Определить вероятность того, что на двух из них выпадет 5 очков.

Ответ: 0,2907.

Задача №4. Вероятность попадания в цель равна 0,8. Какова вероятность того, что из 50 выстрелов 40 попадут в цель?

Ответ: 0,1410.

Задача №5. Вероятность нарушения стандарта при штамповке карболитовых колец равна 0,3. Определить вероятность того, что из 800 готовых колец число не пригодных заключено между 225 и 255.

Ответ: 0,754.

Задача №6. Число длинных волокон в партии хлопка составляет 0,7 от общего числа волокон. При каком общем количестве волокон наивероятнейшее число длинных волокон окажется равным 25?

Ответы: 35; 36.

Задача №7. Торговая база получила 10000 электрических лампочек. Вероятность повреждения электролампочек в пути 0,0001. Определить вероятность того, что в пути будет повреждено 4 электролампочки.

Ответ: 0,0153.

Задача №8. При бросании игральной кости может выпасть от 1 до 6 очков. Рассматривая количество очков как случайную величину, составить закон распределения ее и найти математическое ожидание.

Ответ: M(X) = 3,5.

Задача №9. Функция f(х) задана следующим образом:

Найти: 1) значение постоянной А, при котором f(х) будет функцией плотности некоторой случайной величины Х;

2)функцию распределения этой случайной величины Х;

3)M(X); 4) D(X); 5) Р(-2 < Х < 2). Построить графики функций f(х); F(х). Ответы: А = 3; M(X) = 3/2; D(X) = 3/4; Р(-2 < Х < 2) = 7/8;

Задача №10. Математическое ожидание нормальной случайной величины равно 5, а дисперсия – 4. Написать ее функцию плотности и функцию распределения.

26

ВАРИАНТ № 25.

Задача №1. Из шести карточек с буквами л, и, т, е, р, а выбирают наугад в определенном порядке четыре. Найти вероятность того, что при этом получится слово «тире».

Ответ: 1/360.

Задача №2. В лотерее 100 билетов. Среди них один выигрыш составляет 50 рублей, три выигрыша по 25 рублей, шесть выигрышей по 10 рублей, пятнадцать выигрышей по 3 рубля. Некто покупает один билет. Найти вероятность: а) выиграть не менее 25 рублей; б) выиграть не более 25 рублей.

Ответы: 0,04; 0,24.

Задача №3. В трех урнах имеются белые и черные шары. В первой урне 3 белых шара и 1 черный, во второй – 6 белых и 4 черных, в третьей – 9 белых и 1 черный. Из выбранной наугад урны случайно вынимают шар. Найти вероятность того, что он черный.

Ответ: 1/4. Задача №4. Игральную кость бросают 5 раз. Найти вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем.

Ответ: 0,3292.

Задача №5. Игральную кость бросают 16 раз. Найти наивероятнейшее число появлений числа очков, кратного трем.

Ответ: 5. Задача №6. В камере хранения ручного багажа 80% всей клади составляют чемоданы. Выдано 50 мест. Найти вероятность того, что среди выданных вещей было 38 чемоданов.

Ответ: 0,1096.

Задача №7. Вероятность некоторого события в каждом из испытаний равна 0,4. Найти вероятность того, что:

а) частота наступления события при n = 1500 отклонится от р в ту или иную сторону меньше чем на 0,02;

б) число появлений события будет заключено между 570 и 630.

Ответы: 0,8858; 0,8858.

Задача №8. Если в среднем левши составляют 1%, то каковы шансы на то, что среди 200 человек: а) четверо окажутся левшами; б) найдется четверо левшей.

Ответы: 0,0902; 0,1428.

Задача №9. Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков при одном бросании игральной кости и суммы числа очков при бросании двух игральных костей.

Использовать формулы: M(X+Y) = M(X) + M(Y); D(X+Y) = D(X) + D(Y).

Ответы: M(X+Y) = 7; D(X+Y) = 5,83.

Задача №10. Случайная величина Х распределена равномерно. M(X) = 4, D(X) = 3. Найти функцию плотности и функцию распределения.

27

ВАРИАНТ № 26.

Задача №1. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад один за другим вынимают все находящиеся в ней шары и, не глядя, откладывают в сторону. Найти вероятность того, что последний вынутый шар будет белым. Ответ: 4/9.

Задача №2. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. По мишени стреляют одиночными выстрелами до первого попадания, после чего стрельбу прекращают. Найти вероятность того, что будет сделано не более трех выстрелов.

Ответ: 0,936.

Задача №3. Один из стрелков вызывается на линию огня и производит выстрел, поражающий цель. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого

Задача №4. Вероятность появления события А хотя бы один раз в пяти независимых опытах равна 0,9. Какова вероятность появления события А в одном опыте, если при каждом опыте вероятность одинакова? Ответ: 0,3690.

Задача №5. Вероятность изготовления детали в номинале равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 деталей в номинале окажется 50. Ответ: 0,0782. Задача №6. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 70 до 86 станков, если привод станков включен в течение 0,8 всего рабочего времени? Ответ: 0,9270. Задача №7. Вероятность появления бракованной детали, изготавливаемой станкомавтоматом, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей, изготовленных этим станком, будет 4 бракованных. Ответ: 0,0902. Задача №8. По имеющимся данным в среднем 90% изделий, производимых цехом, не имеют дефектов. Какое наивероятнейшее число изделий с дефектами окажется среди отобранных случайным образом: а) 19 образцов; б) 20 образцов изделий?

Ответы: 1 или 2; 2. Задача №9. Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа попыток открытия замка, если опробованный ключ в последующих попытках не участвует. Найти M(X); D(X); σ(Х) этой случайной величины.

Ответы: 2,5; 1,25; 1,12.

Задача №10. Случайная величина Х имеет следующую функцию распределения

0 при x 0,

x2

при 0 x 2,

16

4

Найти f(х). Построить графики F(х) и f(х). Найти Р(1 < Х < 1,5).

Ответ: 5/64.

28

ВАРИАНТ№ 27.

Задача №1. В группе 17 юношей и 8 девушек. Какова вероятность того, что студент, фамилия которого первая в списке, окажется девушкой? Ответ: 0,32. Задача №2. В процессе эксплуатации двигателя возможны следующие неисправности: большое отложение накипи и подтекание воды из радиатора. Вероятности этих неисправностей во время эксплуатации соответственно равны р1 = 0,8; р2 = 0,9. Найти вероятность того, что за время одной рабочей смены обнаружатся обе неисправности.

Ответ: 0,72.

Задача №3. Для контроля продукции из трех партий взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей будут бракованные, а в двух других все годные? Ответ: 2/9.

Задача №4. Определить вероятность того, что номер первой встретившейся машины не содержит цифры 5; не содержит ровно двух пятерок. Считать, что номер машины состоит

из четырёх цифр. Ответы: 0,656; 0,951 1 6 0,12 0,92.

Задача №5. Найти вероятность того, событие А (переключение передач) наступит ровно 70 раз на 243-километровой трассе, если вероятность переключения на каждом километре этой трассы равна 0,25. Ответ: 0,0231. Задача №6. Вероятность появления события за время испытания равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз при 100 испытаниях. Ответ: 0,8881.

Задача №7. Сколько раз надо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было 55? Ответ: 329 ≤ n ≤ 335. Задача №8. В партии деталей 1% брака. Найти вероятность того, что среди 50 отобранных из этой партии деталей будет одна бракованная. Ответ: 0,306.

Задача №9. На участке имеется несколько одинаковых станков, коэффициент использования которых по времени составляет 0,8. Составить закон распределения работы пяти таких станков при нормальном ходе производства.

Ответ:

29

ВАРИАНТ № 28.

Задача №1. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос».

Ответ: 1/360.

Задача №2. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8, а вторым – 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Ответ: 0,44.

Задача №3. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника составляет 0,9, для велосипедиста – 0,8, для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.

Ответ: 0,86.

Задача №4. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

Ответ: 0,472.

Задача №5. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз. Решить задачу по формуле Бернулли и воспользоваться асимптотической формулой Лапласа. Объяснить расхождение ответов.

Ответы: 0,282; 0,273.

Задача №6. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Ответ: 0,8882.

Задача №7. Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,001.

Ответ: 0,182.

Задача №8. Среди семян ржи 0,4 % семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

Ответ: 0,000055.

Задача №9. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Ответ: 12,25 очка. Задача №10. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х,

Ответы: 1/2; 1/12.

30

ВАРИАНТ № 29.

Задача №1. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые две книги стоят 5 рублей. Ответ: 1/3.

Задача №2. В студии телевидения 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера. Ответ: 0,936.

Задача №3. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором – 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем – 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика будет стандартная.

Ответ: 43/60.

Задача №4. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность появления события А хотя бы 2 раза.

Ответ: 0,19.

Задача №5. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз при 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Ответ: 0,0498.

Задача №6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не более 70 раз.

Ответ: 0,1251.

Задача №7. Сколько раз надо бросить монету, чтобы с вероятностью 0,6 можно было ожидать, что отклонение относительной частоты появления герба от вероятности р = 0,5 окажется по абсолютной величине не более 0,01? Ответ: n = 1764.

Задача №8. Рукопись объемом в 1000 страниц машинописного текста содержит 1000 опечаток. Найти вероятность того, что наудачу взятая страница содержит: а) хотя бы одну опечатку; б) ровно 2 опечатки. Предполагается, что число опечаток распределено по закону Пуассона.

Ответы: 0,6321; 0,18395.

Задача №9. Дискретные случайные величины Х и У заданы законами распределения

Найти математическое ожидание суммы Х + У двумя способами: а) составив закон распределения Х+У; б) пользуясь свойством математического ожидания M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Ответ: M(X+Y)=2,65.

Задача №10. Случайная величина задана функцией плотности

Найти: а) функцию распределения; б) вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение, заключенное в интервале (0; π/4).

31

ВАРИАНТ № 30.

Задача №1. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «спорт».

Ответ: 1/120.

Задача №2. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина. Ответ: 0,9999.

Задача №3. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором – 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наугад взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной. Ответ: 13/132. Задача №4. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. Ответы: 7/64; 57/64.

Задача №5. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Ответ: 0,0006.

Задача №6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз и не более 80 раз. Ответ: 0,7498. Задача №7. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Какое отклонение относительной частоты появления события от его вероятности можно ожидать с вероятностью 0,9128 при 5000 испытаниях? Ответ: 0,00967.

Задача №8. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия. Ответ: 0,06.

Задача №9. Дискретные независимые случайные величины заданы законами распределения

Найти математическое ожидание ХУ двумя способами: а) составив закон

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

Ответ: 1/2.

32