t_r_teoriya_veroyatnosteypdf

ВАРИАНТ № 13.

Задача №1. Из полной колоды карт (52 листа) вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей. Решить задачу с возвращением карты в колоду и без возвращения.

Ответы: 0,0938; 0,1055.

Задача №2. В студии телевидения имеются три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена: а) хотя бы одна камера; б) только одна камера.

Ответы: 0,936; 0,288.

Задача №3. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 25%, второй - 30%, третий - 45% деталей данного типа, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% нестандартных деталей, второй – 0,2%, третий – 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку нестандартной детали и вероятность того, что оказавшаяся нестандартная деталь изготовлена первым автоматом.

Ответы: 0,0022; 0,1136.

Задача №4. В партии изделий 5% бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание 5 изделий: а) не окажется ни одного бракованного; б) будет два бракованных?

Ответы: 0,7738; 0,0214.

Задача №5. Оптовая база снабжает 90 магазинов. Вероятность заявки на данный день от каждого магазина равна 0,4. Найти наивероятнейшее число заявок на данный день.

Ответ: 36. Задача №6. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,75. Какова вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий будет: а) не менее 81; б) не более 70; в) ровно 75

раз? Ответы: 0,0829; 0,1240; 0,0921.

Задача №7. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет не более чем на двух веретенах. Ответ: 0,2381. Задача №8. Написать закон распределения вероятностей и функцию распределения числа попаданий мячом в корзину при двух бросках, если вероятность попадания равна 0,4. Найти M(X); D(X); σ(X), построить график функции F(х).

Ответы: 0,8; 0,48; 0,69.

Задача №9. Случайная величина Х задана функцией распределения

По какому закону распределена случайная величина? Найти M(X); D(X); (X),

F(x) .

15

ВАРИАНТ № 14.

Задача №1. В партии из n изделий k бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки m изделий ровно t окажутся бракованными. Задача №2. Стрелок выстрелил 3 раза по удаляющейся от него мишени, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела она уменьшается на 0,1. Вычислить: а) вероятность попадания в мишень хотя бы один раз; б) вероятность попадания в мишень один раз и двух промахов. Ответы: 0,94; 0,29. Задача №3. На фабрике машины А, Б, С производят соответственно 25, 35 и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранное изделие, выпущенное на фабрике, будет бракованным?

Ответ: 0,0345.

Задача №4. При каждом выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,8. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах будет сделано три промаха.

Ответ: 0,0512.

Задача №5. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что: а) цель будет поражена от 200 до 250 раз в серии из 600 выстрелов; б) будет поражена ровно 240 раз. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель.

Ответы: 0,7962; 0,0332; 240.

Задача №6. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В данном интервале времени любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,005. Найти вероятность того, что в данном интервале было сделано не более 7 вызовов.

Ответ: 0,8666.

Задача №7. Может ли при каком-либо значении аргумента: а) функция распределения

F(x)>1; б) функция плотности f(х)> 1; в) F(x)< 0; г) f(х)< 0?

Задача №8. Имеются мишени 3 типов. Произвели по одному выстрелу в каждую мишень с вероятностью попадания для первого типа 0,6, для второго типа 0,5, для третьего - 0,7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти функцию распределения этой случайной величины.

Ответ:

Задача №9. Независимые случайные величины Х и У заданы законами распределения

Составить закон распределения суммы Х + У. Найти M(X); M(Y); M(X+Y); D(X); D(Y); D(Х+У). Ответы: M(X+Y) = 1, D(X+Y) = 0,9.

Задача №10. Случайная величина Х имеет следующую функцию плотности

Определить значение А. Найти функцию распределения F(x); Р(2 < Х < 3).

Ответы: А = 1, Р(2 < Х < 3) = 1/6,

16

ВАРИАНТ № 15.

Задача №1. Электронное устройство состоит из 5 элементов и функционирует нормально, если все элементы исправны. При сборке устройства элементы выбираются из партии в 1000 элементов. Любой из возможных составов выбора имеет одну и ту же вероятность. В партии 950 исправных и 50 неисправных элементов. Найти вероятность того, что устройство работает нормально. Ответ: 0,7734.

Задача №2. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень соответственно равны 0,7 и 0,8, производят по одному выстрелу. Определить вероятность хотя бы одного попадания в мишень. Ответ: 0,94.

Задача №3. Электролампы изготавливают на трех заводах. Первый завод производит 45% общего количества электроламп, второй - 40%, третий - 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго - 80%, третьего - 81%. В магазин поступила продукция всех трех заводов. Какова вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной?

Ответ: 0,7565.

Задача №4. Имеется устройство, состоящее из 5 элементов. В течение фиксированного времени каждый из элементов может выйти из строя с вероятностью р = 0,7. Устройство функционирует нормально, если число вышедших из строя элементов не более двух. Найти вероятность нормального функционирования устройства. Ответ: 0,16308. Задача №5. Стрелок сделал 30 выстрелов, вероятность попадания при отдельном выстреле 0,3. Найти: а) вероятность того, что при этом будет 8 попаданий; б) наивероятнейшее число попаданий. Ответы: 0,1467; 9.

Задача №6. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий первого сорта заключено в интервале между 600 и 700, если вероятность того, что отдельное изделие будет первого сорта, равна 0,62. Ответ: 0. Задача №7. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет: три; не более трех негодных изделий. Ответы: 0,0613; 0,9810. Задача №8. На предприятии имеется 4 автобуса. Вероятность выхода на линию в любой день одинакова для каждого автобуса и равна 0,8.

Составить закон распределения случайной величины – числа автобусов, которые выйдут на линию в произвольный выбранный день. Найти математическое ожидание и дисперсию этой

Определить значение А. Найти F(x); M(X).

Ответы: А = 1/2,

17

ВАРИАНТ № 16.

Задача №1. Из колоды в 36 карт наудачу вынимаются 3 карты. Найти вероятность того, что среди них точно окажется один туз. Ответ: 0,28. Задача №2. Имеется пять партий радиоламп: три партии по 8 штук, в каждой из которых 6 стандартных и 2 нестандартных; две партии по 10 штук, из которых 7 стандартных и 3 нестандартных. Наудачу из этих партий берется одна партия и из этой партии выбирается одна деталь. Определить вероятность того, что взятая таким образом деталь будет стандартной. Ответ: 0,73. Задача №3. Производится 5 независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую равна 0,2. Для разрушения цели достаточно трех попаданий. Найти вероятность того, что цель будет разрушена. Ответ: 0,05792. Задача №4. Завод сортовых семян выпускает гибридные семена кукурузы. Известно, что семена первого сорта составляют 95%. Определить вероятность того, что из взятых наудачу для проверки 200 семян ровно 180 будут первого сорта. Ответ: 0,00068. Задача №5. Вероятность наступления некоторого события в каждом отдельном испытании равна 0,7. Какова вероятность того, что это событие появится не менее 1000 и не более 1080 раз при 1500 испытаниях? Ответ: 0,9521. Задача №6. На некотором предприятии доля брака составляет в среднем 0,1%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 4000 изделий этого предприятия, окажется не более двух бракованных изделий? Ответ: 0,2381. Задача №7. Вероятность нарушения точности в сборке прибора составляет 0,2. Определить наиболее вероятное число точных приборов в партии из девяти штук.

Ответы: 7; 8. Задача №8. Из 5 купленных гвоздик 2 белые. Для составления букета наудачу берут 3 гвоздики. Составить закон распределения числа белых гвоздик среди отобранных. Найти

Ответы: 4,75; 3,79; 1,95.

Задача №10. Дана функция плотности непрерывной случайной величины

0 при x 2,

1

f x при 2 x 5,

3

0 при x 5.

Найти функцию распределения этой случайной величины и Р(2,5<Х<3,5).

Ответы: Р(2,5 < Х < 3,5) = 1/3;

18

ВАРИАНТ № 17.

Задача №1. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.

Ответ: 0,0870.

Задача №2. В урне находятся 15 шаров, из них 9 красных и 6 синих. Найти вероятность того, что вынутые наугад 2 шара окажутся красными. Задачу решить с возвращением шара в урну и без возвращения. Ответы: 0,36; 0,3429.

Задача №3. В урне содержатся 10 красных, 15 синих и 5 белых шаров. Из урны вынимают один шар. Требуется найти вероятность того, что этот шар будет красным или белым.

Ответ: 1/2. Задача №4. В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Станки первого типа производят 94% деталей отличного качества, второго - 90%, третьего - 85%. Все детали в нерассортированном виде сложены на складе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если станков первого типа 5 штук, второго – 3, третьего – 2.

Ответ: 0,91.

Задача №5. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях событие А появится ровно 4 раза, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,4.

Ответ: 0,0768.

Задача №6. Проводят независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие А появится не более 79 раз; ровно 80 раз. Найти наивероятнейшее число появления события А.

Ответы: 0,4013; 0,0997; 80.

Задача №7. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет ровно 5, не более 5 негодных изделий. Ответы: 0,0031; 0,9994.

Задача №8. Проверкой установлено, что из каждых 10 деталей, поступающих на сборку двигателя самолета, 2 нуждаются в доводке. Составить закон распределения числа точно изготовленных среди наудачу взятых 3 деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной

Задача №9. Независимые случайные величины Х и У заданы законами распределения

Составить закон распределения Х + У. Проверить соотношения M(X+Y)=M(X)+M(Y); D(X+Y) = D(X) + D(Y).

Найти f(х); M(X); D(X); σ(Х); Р(1/2 < Х < 1), построить графики функций f(х) и F(х).

Ответы: M(X) = 1; D(X) = 1/3; σ(Х) = 0,58; Р(1/2 < Х < 1) = 1/4.

19

ВАРИАНТ № 18.

Задача №1. В партии из N изделий имеется М бракованных. Из партии выбирается наугад n изделий. Определить вероятность того, что среди n изделий будет ровно m бракованных.

Задача №2. Три охотника договорились стрелять в цель в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым охотником одинаковы и равны 0,7. Найти вероятность того, что будет произведен только: а) один выстрел; б) два; в) три. Ответы: 0,7; 0,21; 0,063. Задача №3. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность появления нестандартной детали на первом автомате равна 0,06, а на втором - 0,09. Производительность второго автомата в 2 раза больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь будет нестандартная. Ответ: 0,08.

Задача №4. Найти вероятность того, что в 6 независимых испытаниях событие А появится ровно 5 раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,9. Ответ: 0,3543. Задача №5. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность этого события в каждом испытании равна 0,2. Ответ: 0,0499. Задача №6. Вероятность наступления события в каждом отдельном испытании равна 0,9. Произведено 100 испытаний. Найти: а) вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности не более чем на 0,03; б) наивероятнейшее число появления события и его вероятность; в) вероятность, что событие появится не менее 90 раз.

Ответы: 0,6826; 90; 0,1330; 0,4995.

Задача №7. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Какова вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных? Ответ: 0,1563. Задача №8. Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель. Найти математическое ожидание и дисперсию этой

x2

при 0 x 2,

16

4

Найти f(х); M(X); D(X); σ(Х); Р(1 < Х < 1,5), построить графики функций f(х) и F(х).

Ответы: M(X) = 2,11; D(X) = 0,29; σ(Х) = 0,54; Р(1< Х <1,5) = 0,0781.

20

ВАРИАНТ № 19.

Задача №1. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что: а) все 3 детали без дефектов; б) по крайне мере одна деталь без дефектов?

Ответы: 0,5785; 0,9974.

Задача №2. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что за смену не будет ни одной нестандартной детали, равна 0,9. Определить вероятность того, что за три смены не будет выпущено ни одной нестандартной детали.

Ответ: 0,729.

Задача №3. Производятся два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при втором – 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет: а) только одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина.

Ответы: 0,44; 0,92.

Задача №4. В двух ящиках содержится по 20 деталей, причем из них в первом ящике 15, а во втором – 14 стандартных деталей. Из первого ящика наудачу извлечена деталь и переложена во второй ящик. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из второго ящика будет стандартной.

Ответ: 0,7024.

Задача №5. Вероятность изготовления детали отличного качества равна 0,9. Какова вероятность того, что среди десяти деталей не менее девяти отличного качества?

Ответ: 0,7361.

Задача №6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень не менее 75 раз; ровно 80 раз. Найти наивероятнейшее число попаданий при 100 выстрелах.

Ответы: 0,8944; 0,0997; 80.

Задача №7. Завод отправил на базу 5000 изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудет ровно 3 и не более 3 негодных изделий.

Ответы: 0,0613; 0,9810.

Задача №8. Среди 20 изделий 18 стандартных. Одновременно наудачу извлекаются 3 изделия. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди 3 извлеченных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответы: 2,7; 0,242;

Задача №9. Монету подбрасывают 7 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появления герба.

Ответы: 3,5; 1,75.

Задача №10. Случайная величина Х распределена по закону Коши

f x a . 1 x2

Найти значение а, F(х), Р(-1 < Х < 1).

Ответы: а = 1/π; F(х)= (1/π)(arctgx + π/2); Р(-1<Х<1) = 1/2.

21

ВАРИАНТ № 20.

Задача №1. На шести карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. После перетасовки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том же порядке, в каком были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово «Москва».

Ответ: 1/720.

Задача №2. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания, равна 0,92; второй – 0,9; третий – 0,85; четвертый – 0,8. Какова вероятность того, что в течение часа хотя бы один из станков не потребует внимания рабочего? Ответ: 0,99976.

Задача №3. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Среди них один выигрыш в 50 рублей, пять по 20 рублей, двадцать по 10 рублей, пятьдесят по 5 рублей. Некто покупает билет. Найти вероятность: а) выиграть не менее 10 рублей; б) какого-либо выигрыша.

Ответы: 0,026; 0,076.

Задача №4. Наборщик пользуется двумя кассами. В первой кассе 90% отличного шрифта, во второй - 80%. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная литера из наудачу взятой кассы будет отличного качества. Ответ: 0,85.

Задача №5. По цели производятся 5 независимых выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,4. Для получения зачета по стрельбе требуется не менее трех попаданий. Найти вероятность получения зачета. Ответ: 0,3174. Задача №6. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок поразит мишень: а) ровно 75 раз; б) не менее 70 раз. Найти наивероятнейшее число попаданий.

Ответы: 0,04565; 0,9938; 80.

Задача №7. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на четырех веретенах. Ответ: 0,1954. Задача №8. Среди 6 изделий 4 первого сорта. Составить закон распределения числа первосортных изделий среди одновременно взятых наудачу 3 изделий. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Ответы: 2; 0,4.

Задача №9. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпадающих на двух игральных кубиках.

Указание: найти математическое ожидание и дисперсию числа очков при одном бросании игрального кубика, а потом использовать формулы: M(X+Y) = M(X) + M(Y); D(X+Y) = D(X) + D(Y). Ответы: 7; 5,83.

Задача №10. Случайная величина Х распределена по показательному закону

22