Типовик 2 семестр ч3

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

77

2 уровень

б) 5110sinx 3

2dx;

а) 4

13ex 3

cosx

2dx;

3

10

x2 41

в)

8

2

x

1

x2 1 5

3

4

3

x2

5dx.

6

7

3 уровень

а) 3

x 1 x 2 x6 2 x10

б) 9

1

x

3

2

2

dx;

4

2

5dx.

16 6

5

x

16x

2

7

8

а) 1

dx

б) 1 e10xdx;

в) 1 ch10xdx;

г) 2

dx

;

.

(4x 11)2

cos2 3x

2 уровень

dx

dx

(sin10x 1 e6x )dx; б) 2

в) 2

а) 2

;

(14 1 3x)3

.

sin2 (2 1 5x)

3 уровень

9

2

10x

ctg(7 1 3x)

5

3

а)

5

2e

1

4

1 cos11x6dx;

10

14

9x2

7

8

1 уровень

а) 1

dx

;

б) 12x2 xdx;

в) 1 cos3 x sinxdx.

xln2 x

2 уровень

а) 2

exdx

б) 2

5

1 1 3lnx

в) 1

x3dx

;

dx;

.

1 1 sin2 ex

cos2 x4

x

78

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

3 уровень

а) 2

e3xdx

б) 2

5 1 ln3 x

в) 3

arctg4x 1 4x

;

dx;

dx.

4e6x 1 6

x

1 2 x2

1 уровень

а) 1 x11x dx;

б) 2(x 111)cosxdx;

в) 1 ln

xdx.

2 уровень

а) 2(1 111x)e3xdx;

б) 2ln(x 1 6)dx; в) 2arcсtg

8x 11dx.

3 уровень

а) 1 sinlnxdx;

б) 1 x2 sin6xdx;

в) 1 x5 ln2 xdx.

а) 3

dx

б) 2

dx

в) 2

dx

;

;

.

x2 1 x 2 30

x2 1 4x 110

(x 110)(x 1 2)

2 уровень

а) 2

x 11

б) 3

x2dx

в) 3

(2x 11)dx

dx;

;

.

x2 1 x 11

x2 1 3x 2 4

(x 2 5)(x 21)

3 уровень

а) 2

x 1 8

б) 3

x3 1 6

dx;

dx;

x(x 1

2

(x 2

2)

2

(x

2

2

4)

2)

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

79

2 уровень

x

в) 2

dx

а) 1 sin4 2 dx;

б) 1 sin3 xcos6 xdx;

.

3

1 sin

2 x

3 уровень

3

sin5 x

а) 2

(3 1 cos2x)

3

dx; б) 1 ctg

6

5xdx;

в) 2

dx.

cosx 1 3

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 3

dx

;

б) 2

dx

;

в) 2

x

dx.

x

2

5

4

1

x

1 x 2

x x 11

2 уровень

а) 2

x 1 4

dx;

б) 3

5 1 x2

2 4xdx;

3 1 3x 1 x2

в) 3

dx

.

2/3

1/2

(x 1 1)

2 (x 1 1)

3 уровень

а) 2

dx

;

б) 2

11 x4

dx;

в) 2

3 1 1 3 x

dx.

23 x2 1 x 1 6 x5

9 x13

x6

1 уровень

а) 112x dx;

б) 112cosxdx;

5

в) 2(x9 1 2ctgx)dx;

г) 1 x x x dx.

2 уровень

а) 41

1

3

1

2dx;

б) 2(12ex 1 6tgx)dx;

x3

sh2x

9 1 sinx 17tg

2

x

б) 8

1

1

2

а)

2

dx;

4 312sinx

3

5dx.

3 81x2

sin2 x

6

81

7

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной

замены:

1 уровень

dx

а) 1 sin12xdx;

б) 2

dx

в) 1

dx

; г) 2

.

;

(3 1 x)2

4 1 9x2

cos2 12x

2 уровень

а) 3(cos12x 2 e13x )dx;

б) 2tg(4 112x)dx;

в) 2

dx

.

3

12x 1

7

3 уровень

а) 9

3

1

sh(3x 2 5)

4

5

2

1 9514x 2 ctg12x6dx;

2 1 1 9x

2

15

7

8

б) 515 5 37x 3 2e5x36 3 sh(12x 4 8)2dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе

ременной:

1 уровень

а) 2

5xdx

б) 2

2 1 lnx

в) 1 e

3x2

11 x2

;

dx;

xdx.

x

2 уровень

а) 2

12dx

;

б) 2

2x2dx

;

в) 27 x7 1 9x9 dx.

(12 1 x3 )4

ex cos2 e1x

3 уровень

а) 2

sinxdx

;

б) 3

12 1 arccosx

dx;

1 2 x

2

12 1 5cosx

в) 2

3x 1 arctg5x

dx.

1 1 x2

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

81

1 уровень

а) 1 x12x dx;

б) 2

(x 1 5)sinxdx;

в) 1 ln4xdx.

2 уровень

а) 2(3x 1 5)cos2xdx;

б) 2ln(x 112)dx;

в) 2arcсtg 12x 11dx.

3 уровень

а) 1 coslnxdx;

б) 2

(x2 1 12)e2xdx;

в) 1 x3 ln2 xdx.

а) 2

dx

б) 2

dx

в)

3

dx

.

;

;

x2 1 3x

x2 1 2x 1 5

(x 1 3)(x 27)

2 уровень

22x 1 3

3

dx

а)

dx;

б)

x

dx

;

в)

3

.

3 x2 2 x 1 5

2 x3 11

(x 1 3)(x 2

2)2

3 уровень

а) 3

x5 1 2x4 2 3

dx;

б) 2

x3 1 6x2 1 11x 1 7

dx;

x4 1 4x2

(x 1 1)(x 1 2)3

в) 3

2x3 1 7x2 1 7x 1 9

dx.

2

2

1 x

1

2)

(x 2 3) (x

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций:

1 уровень

а) 1 sinxcos7xdx;

б) 3

dx

;

8 1 4sinx 27cosx

82

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

2 уровень

а) 1 sin4 x dx;

б) 1 sin4 xcos3 xdx; в) 2

dx

.

4sin

2

2

4

x 1 3cos x

3 уровень

а) 2(3 1 2cos3x)3 dx;

б) 1 tg4 6xdx;

в) 2

sin3 x

dx.

2

1 1 cos

x

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 2

dx

;

б) 2

xdx

;

в) 2

x 11

dx.

2x 11

x

2

5

11 x

1 3x 1

2 уровень

а) 2

5x 11

dx;

б) 2

6 1 x2 1 2xdx;

3

1 2x 1 x

2

в) 3

dx

.

3

(x 1

1)

2

2

x 11

3 уровень

а) 4

3 113 3 x 22

dx;

б) 2

x2 116

dx;

в) 2

dx

.

x4 1 1 x2

x

9 x14

Вариант 13

1. Вычислить интегралы непосредственным интегри

рованием:

1 уровень

а) 1 53 x13dx;

б) 2

5dx

;

4 1 x2

4

в) 2(13x 1 2ctgx)dx;

г) 1

x

dx.

x3

2 уровень

а) 4113x2 3

3

2dx;

б) 4

113sinx 3 11x 2dx;

cos2 x

9

1

3

3

5 x

2

в)

4

x3

5dx.

16

7 x2 6

8

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

83

3 уровень

2 x4

1 13x

3x 3

1

1

2

а)

8

4

x2

1

5dx;

б) 94 39cosx 3

5dx.

6

2x 7

7

4x2 6 4 8

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной

замены:

1 уровень

а) 2

dx

; б) 1132x dx; в) 1 sh13xdx;

г) 2

dx

cos2 (x 1 13)

.

7 1 2x

2 уровень

dx

а) 2(sin13x 1 e13x )dx;

б) 2

в) 2(13 1 5x)3 dx.

;

1116x2

3 уровень

9

1

13

2

а)

5(3 313x)4 3 tg2x 4

6dx;

5x 4

7

4 8

б) 51 (22 3 2x)7 3 ch(13x 3 2) 4 133x46 2dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе

ременной:

1 уровень

arctgx

а) 2131 1 x2

dx;

б) 1 xctgx2dx;

в) 1 3 cos5 x sinxdx.

2 уровень

а) 1

sin

x

dx;

б) 2

x2dx

;

в) 2

3x dx

.

3

x

(1 1 x

3

)

4

(3

x

1

13)

3

3 уровень

а) 2

3 1 ctgx

dx;

б) 3

tg5x 1 2

в) 2

8x 1 arcctgx

dx.

dx;

11 x2

sin2 x

12 sin2 x

84

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

1 уровень

а) 1 x13x dx;

б) 2(x 1 13)cosxdx;

в) 1 lnx8dx.

2 уровень

а) 2(x 1 2)e13xdx;

б) 2ln(8 1 x)dx;

в) 2arcsin 1 1 2x2 dx.

3 уровень

а) 113x sinxdx;

б) 1 x2 sin13xdx;