110111.

Результат есть отрицательное число (1 в знаковом разряде) и выражен он в дополнительном коде. Для получения его прямого кола убавим единицу в младшем разряде (110110), после чего инвертируем цифры всех разрядов, кроме знакового (101001). Правильность вычислений проверим на десятичных числах: (10110)₂ =(22)₁₀; (01101)₂ =(13)₁₀; (01001)₂= (9)₁₀; 22- 13 = 9; 13- 22 = -9.

При умножении двоичных многоразрядных чисел с учетом их знаков необходимо выполнить две операции: определить знак про­изведения и найти его абсолютную величину. Знаковый разряд может быть получен суммированием цифр знаковых разрядов со­множителей без формирования разряда переноса. При несовпадении складываемых цифр получается 1, что соответствует знаку произведения двух сомножителей с разными знаками. Абсолют­ная величина произведения определяется перемножением чисел без учета их знаком. Перемножение многоразрядных двоичных чи­сел производится с помощью таблицы 1. При умножении двух двоичных чисел множимое (первый со­множитель) последовательно умножают на каждую цифру множи­теля (второго сомножителя), начиная либо с младшего, либо со старшего разряда, и для учета веса соответствующей цифры мно­жителя сдвигают либо влево (при начале умножения с младшего разряда множителя), либо вправо (при начале со старшего разря­да) на такое число разрядов, на какое соответствующий разряд множителя сдвинут относительно младшего или старшего разряда. При умножении вручную на бумаге мы привыкли начинать с младшей цифры второго сомножителя. При этом результат умно­жения на цифру следующего разряда записываем левее предыду­щего результата на один разряд, т.е. тем самым производим сдвиг влево. Результаты умножения первого сомножителя на каждую цифру второю сомножителя называют частичными произведени­ями или промежуточными суммами. Получающиеся в результате умножения и сдвига частичные произведения после суммирова­ния дают полное произведение. Особенность умножения двоич­ных чисел состоит в том, что частичное произведение может быть либо сдвинутым на соответствующее число разрядов множимым, если соответствующая цифра множителя равна 1, либо нулем, если соответствующая цифра множителя равна 0. Рассмотрим пример:

10111 — множимое

х

1101 — множитель

10111 — первое частичное произведение

00000 второе частичное произведение

10111 — третье частичное произведение

10111 — четвертое частичное произведение

100101011 — произведение

Тот же результат можно получить при умножении, начиная со старших разрядов множителя:

10111

х

1101

10111

10111

00000

____ 10111

100101011.

В цифровых устройствах процессу суммирования частичных произведений придают последовательный характер: формируется одно из частичных произведений, к нему с соответствующим сдви­гом прибавляется следующее частичное произведение, к полу­ченной сумме с соответствующим сдвигом Прибавляется очеред­ное частичное произведение и так далее, пока не окажутся про­суммированными вес частичные произведения и не будет получе­но полное произведение. Можно привести следующее обоснование тому, что умноже­ние сводится к сдвигу и сложению. Пусть надо перемножить 101101 и 101101. Запишем это в такой форме: 101101 * 101101 = 101101(100000 + 1000+ 100+1)= 10110100000+ 101101000+ 10110100+ 101101. Таким образом, умножение па 100000 свелось к приписыва­нию пяти нулей (т.е. сдвигу на пять разрядов влево), на 1000 — трех (сдвиг на три разряда), на 100 — двух (сдвиг на два разряда). Иными словами, из первого сомножителя формируется столько частичных слагаемых, сколько единиц имеется во втором со­множителе. Сдвиг производится на столько разрядов влево, на каком месте (в каком разряде) находится соответствующая еди­ница, минус один. Например, если единица есть в шестом раз­ряде, сдвиг производится на пять разрядов, а если в четвертом, то на три. Если единица в первом разряде, то никакого сдвига делать не надо, в качестве одного из слагаемых берется сам пер­вый сомножитель. Затем вес полученные частные слагаемые скла­дываются. Операция деления в ЭВМ может быть сведена к нескольким операциям вычитаний и сдвигов. Результат деления (частное) оп­ределяется как число вычитаний с учетом сдвигов. Например, де­ление 132 : 11 = 12 можно осуществить в виде такой последова­тельности вычитаний и сдвигов:

132

-

110 -первое вычитание

022

220 - сдвиг

-

110 - первое вычитание

110

-

110 - второе вычитание

000

Ответ: 12 (одно вычитание до сдвига и два после).

Замена вычитания сложением остатка с дополнительным ко­дом вычитаемого сводит операцию деления к последовательности трех простейших операций.

Деление является весьма трудоемкой операцией. В ряде случаев и цифровых устройствах оно заменяется нахождением обратной величины делителя по специальной подпрограмме (на основе ка­кой-либо быстро сходящейся итерационной формулы) и последу­ющим умножением делимого на найденную обрапгую величину.

Иными словами, во многих машинах операция деления заме­няется умножением, так как a/b = a(1/b). По числу b машина авто­матически вычисляет число 1/b, которое затем умножается на a.

Довольно часто результат деления вычисляется не вполне точ­но, т.е. с некоторым приближением. Ведь деление без остатка не всегда возможно. В привычной нам десятичной системе это тоже часто бывает, Например, если разделить 2 на 3, то в ответе полу­чится 0,666..., т.е. 6 в периоде. На практике принимают результат с округлением: 0,67, или 0,667, или 0,6667. Чем больше знаков после запятой, тем меньше ошибка вычисления.

Содержание отчета:

1. Оформить титульный лист в соответствии с СТП 1.2 – 2005.

2. В лабораторной работе необходимо отразить следующее:

А) Название лабораторной работы.

Б) Цель работы.

Г) Задание.

Д) Выполненная работа в соответствии с заданием.

Е) Ответы на контрольные работы.

Ж) Вывод.

3. Отчет необходимо оформить в папку.

Контрольные вопросы:

1. Что такое система счисления?

2. Как производится сложение двоичных чисел?

3. Как производится вычитание двоичных чисел?

4. Как производится умножение двоичных чисел?

5. Как производится перевод из 16, 10, 8 системах счисления в двоичную?

Практическая работа № 2

Тема: Кодирование чисел в прямом, обратном, дополнительном и модифицированном кодах.

Цель работы: Закрепить и систематизировать полученные знания по пройденной теме.

Задание: Ответить на контрольные вопросы. Выполнить действия по вариантам: 1 вариант – чётные по журналу; 2 – вариант нечётные по журналу. 1 вариант: А; 2 вариант: Б Выполнить Двоичное сложение в дополнительном коде: а) +3 и +8, -7 и +7, -5 и +8, б) +1 и +8, +2 и -5, -2 и -5

Пояснения к работе:

Прямой, обратный и дополнительный коды. Модифицированный код.

При рассмотрении элементарных арифметических операций над двоичными числами мы уже коснулись темы отрицательных двоичных чисел. Теперь рассмотрим ее подробнее.

Для кодирования знака двоичного числа используется старший ("знаковый") разряд (ноль соответствует плюсу, единица – минусу).

Такая форма представления числа называется прямым кодом.

В ЭВМ прямой код применяется только для представления положительных двоичных чисел. Для представления отрицательных чисел применяется либо дополнительный, либо обратный код, так как над отрицательными числами в прямом коде неудобно выполнять арифметические операции.

Правила для образования дополнительного и обратного кода состоят в следующем:

для образования дополнительного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать (заменить 1 на 0, а 0 – на 1), после чего прибавить 1 к младшему разряду;

для образования обратного кода отрицательного числа необходимо в знаковом разряде поставить единицу, а все цифровые разряды инвертировать;

при данных преобразованиях нужно учитывать размер разрядной сетки.

Прямой код можно получить из дополнительного и обратного по тем же правилам, которые служат для нахождения дополнительного и обратного кодов.

В таблице 1 пpиведены десятичные числа и их двоичные пpедставления в тpех pазличных фоpмах. Интеpесно в ней вот что. Если начать счет с числа 1000 (–8) и двигаться вниз по столбцам, то в дополнительном коде каждое последующее число получается пpибавлением единицы к пpедыдущему без учета пеpеноса за пpеделы четвеpтого pазpяда Так пpосто эту опеpацию в пpямом и обpатном кодах не осуществить. Эта особенность дополнительного кода и явилось пpичиной пpедпочтительного пpименения его в совpеменных микpо и мини ЭВМ.

Итак, числа, пpедставленные в дополнительном коде, складываются по пpавилам двоичного сложения, но без учета каких либо пеpеносов за пpеделы стаpшего pазpяда. Рассмотpим это на пpимеpах 1.

Таблица 1 Прямой, обратный и дополнительный коды

Десятичное число	Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
-8	–	–	1000
-7	1111	1000	1001
-6	1110	1001	1010
-5	1101	1010	1011
-4	1100	1011	1110
-3	1011	1100	1101
-2	1010	1101	1110
-1	1001	1110	1111
0	1000	1111	0000
	0000	0000
1	0001	0001	0001
2	0010	0010	0010
3	0011	0011	0011
4	0100	0100	0100
5	0101	0101	0101
6	0110	0110	0110
7	0111	0111	0111

Пример 1 Двоичное сложение в дополнительном коде

1. +2 0010 2) -2 1110 3) +5 01

+ +5 0101 + -6 1010 + -4 11

__________________ ______________ ____________

+7 0111 -8 1000 +1 00

Еще одним достоинством дополнительного кода является то, что нуль, в отличие от пpямого и обpатного кодов, пpедставляется одним кодом. Наличие 0 в знаковом бите пpи пpедставлении нуля опpеделяет его как величину положительную, что согласуется с математической теоpией чисел и соглашениями, пpинятыми во всех языках пpогpаммиpования.

Из приведенных примеров следует, что положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах совпадают. В прямом и обратном коде нуль имеет два представления – «положительный» и «отрицательный» нуль.

Отметим, что при представлении с плавающей запятой отдельно кодируется мантисса и порядок числа. При этом возможно представление мантисс и порядков чисел в одном и том же или разных кодах. Например, порядок числа может быть представлен в прямом, а мантисса – в дополнительном кодах и т. п.

Таким образом, используя обратный и дополнительный коды, операцию алгебраического сложения можно свести к арифметическому сложению кодов чисел, которое распространяется и на разряды знаков, которые рассматриваются как разряды целой части числа.

При сложении чисел, меньших единицы, в машине быть получены числа, по абсолютной величине большие единицы. Для обнаружения переполнения разрядной сетки в ЭВМ применяются модифицированные прямой, обратный и дополнительный коды. В этих кодах знак кодируется двумя разрядами, причем знаку "плюс" соответствует комбинация 00, а знаку "минус" - комбинация 11.

Правила сложения для модифицированных кодов те же, что и для обычных. Единица переноса из старшего знакового разряда в модифицированном дополнительном коде отбрасывается, а в модифицированном обратном коде передается в младший цифровой разряд.

Признаком переполнения служит появление в знаковом разряде суммы комбинации 01 при сложении положительных чисел (положительное переполнение) или 10 при сложении отрицательных чисел (отрицательное переполнение). Старший знаковый разряд в этих случаях содержит истинное значение знака суммы, а младший является старшей значащей цифрой числа. Для коррекции переполнения число нужно сдвинуть в разрядной сетке на один разряд вправо, а в освободившийся старший знаковый разряд поместить цифру, равную новому значению младшего знакового разряда. После корректировки переполнения мантиссы результата необходимо увеличить на единицу порядок результата.

Содержание отчета:

3. Оформить титульный лист в соответствии с СТП 1.2 – 2005.

4. В лабораторной работе необходимо отразить следующее:

А) Название лабораторной работы.

Б) Цель работы.

Г) Задание.

Д) Выполненная работа в соответствии с заданием.

Е) Ответы на контрольные работы.

Ж) Вывод.

3. Отчет необходимо оформить в папку.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение модифицированного кода.

2. Перечислите правила для образования дополнительного и обратного и прямого кода.

Практическая работа №3

Тема: Выполнение арифметических операций с многоразрядными двоичными кодированными числами.

Цель работы: Закрепить и систематизировать полученные знания по пройденной теме.

Задание: Выполнить действия по вариантам: 1 вариант – чётные по журналу; 2 – вариант нечётные по журналу. 1 вариант: А; 2 вариант: Б.

А) Вычислить операцию сложения: 1) +14 и +6; 2) +7 и -11; 3) -8 и -12; 4) +45 и +51; 5) -61 и -92.

Б) Вычислить операцию сложения: 1) +13 и +5; 2) +6 и -14; 3) -9 и -11; 4) +52 и +49; 5) -75 и -98

Пояснения к работе:

Представление двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах

Для определения знака числа в двоичном коде используются 0 и 1. Нулем кодируется знак "+", Единицей кодируется знак "-".

Для представления положительных и отрицательных чисел в вычислительной технике используются ПРЯМОЙ, ОБРАТНЫЙ и ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ коды.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например:

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например:

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа.

Пример: Представить число +7, -12, -15, -16 в прямом, обратном и дополнительном кодах.

Число	Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
-12	1 0001100	1 1110011	1 1110100
-15	1 0001111	1 1110000	1 1110001
-16	1 0010000	1 1101111	1 1110000

При переводе из обратного в прямой код происходит инверсия цифр числа.

При переводе из дополнительного в прямой код происходит 1) инверсия цифр числа, 2)добавляется +1 в младший разряд инвертированного числа.

Арифметические действия над числами со знаком

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая: