3. Пример решения и оформления задачи

Задача. Два металлических стержня расположены вертикально и замкнуты вверху проводником. По этим стержням без трения и нарушения контакта скользит металлическая перемычка длиной 30 см и массой 5 г. Вся система находится в однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл. Направление линий индукции перпендикулярно плоскости рамки. Установившаяся скорость движения перемычки равна 0,2 м/с. Найти сопротивление перемычки. Сопротивлением стержней и провода пренебречь.

Дано: ℓ = 30 см m = 5 г В = 2 Тл = 0,2 м/с	СИ 0,3 м 5103 кг	Решение.
R – ?

Способ 1

При движении перемычка пересекает линии магнитной индукции и в ней возникает ЭДС индукции, значение которой определяется по закону Фарадея-Ленца:

E . (1)

Магнитный поток, проходящий через поверхность, пересекаемую перемычкой за время dt, вычисляется по формуле:

dФ_В = BdScos = , (2)

где – угол между нормалью к рамке и вектором индукции магнитного поля,  = 0.

Причиной возникновения ЭДС в движущемся проводнике является сила Лоренца, которая дейст-вует со стороны магнитного поля на свободные электроны, движущиеся вместе с перемычкой. Под действием этой силы свободные электроны станут смещаться влево и заряжать левый конец перемычки отрицательно, а правый  положительно (рис. 2).

По контуру потечет ток  I (см. рис. 1), сила которого рассчитывается по закону Ома:

, (3)

где R – сопротивление цепи, которое по условию задачи равно сопротивлению перемычки.

На перемычку с током в магнитном поле действует сила Ампера:

, (4)

где  – угол между направлением силы тока и вектором магнитной индукции,  = 90.

Подставим формулы (1)  (3) в уравнение (4) и получим:

. (5)

При анализе формулы (5) видно, что чем больше скорость движения перемычки, тем больше сила Ампера. При равенстве силы Ампера силе тяжести, действующей на перемычку, ее движение станет равномерным, а скорость – постоянной (см. рис. 1). Запишем условие равенства сил:

mg = . (6)

Подставим выражение для силы Ампера (5) в уравнение (6):

mg = . (7)

Выразим из равенства (7) сопротивление R и получим расчетную формулу:

. (8)

Подставим данные задачи в формулу (8):

(Ом).

Способ 2 (более короткий)

По закону сохранения энергии вся работа силы тяжести (т. е. убыль потенциальной энергии mgh) идет на нагревание проводника. Это связано с тем, что проводник движется с постоянной скоростью и изменения кинетической энергии не происходит, т. е.

mgh = Q, (9)

где h – высота, на которой находится перемычка.

Количество тепла Q можно определить по закону Джоуля-Ленца:

Q = I²Rt. (10)

Подставим формулу (3) в уравнение (10):

Q = =, (11)

а уравнение (11) – в формулу (9):

mgh = . (12)

Выразим из тождества (12) сопротивление перемычки:

R = . (13)

Расстояние, которое перемычка пройдет за время t с постоянной скоростью

h = t. (14)

ЭДС индукции, возникающая в проводнике, движущемся с постоянной скоростью в магнитном поле, выразим через характеристики проводника и поля:

, (15)

где  = 90, sin  = 1.

Подставим уравнения (14) и (15) в равенство (13) и получим расчетную формулу:

. (16)

Формула (16) полностью совпадает с расчетной формулой (8), полученной при решении задачи способом 1.

Ответ: R = 1,5 Ом.