2. Гармонические колебания

Гармоническими колебаниями называют колебания, происходящие под действием силы, прямо пропорциональной смещению и направленной в сторону, противоположную смещению. Ускорение при гармонических колебаниях, также прямо пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону.

Математический и пружинный маятники совершают гармонические колебания. Анализ записанных формул позволяет сделать следующие выводы: при максимальном смещении сила, возвращающая маятники в состояние равновесия, и ускорение максимальны по модулю, скорость при этом равна нулю; в положении равновесия скорость маятников максимальна, а ускорение и сила равны нулю

Для этого рассмотрим две простейшие колебательные системы: математический маятник и пружинный маятник.

Математический маятник состоит из груза, подвешенного на нити. Полагают, что нить не имеет массы, т. е. вся масса маятника сосредоточена в грузе, а длина нити много больше размеров груза, поэтому груз можно считать материальной точкой. Считают также, что сопротивление воздуха и трение в точке подвеса отсутствуют. Предположим, что маятник отвели вправо (рис. 82) на некоторый угол. Мы будем рассматривать колебания, амплитуда которых мала. Пусть смещение маятника в некоторый момент времени — х. На маятник действуют сила тяжести и сила упругости. Их равнодействующая направлена к положению равновесия.

Рассмотрим треугольник АОС и треугольник ADE. Они подобны, так как равны их углы. Можно записать пропорцию:

откуда

Поскольку сила F направлена в сторону, противоположную смещению х, то

Таким образом, сила, возвращающая математический маятник в положение равновесия, прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела и направлена в противоположную сторону.

По второму закону Ньютона F = та, следовательно:

Ускорение колебаний математического маятника прямо пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону.

Пружинный маятник состоит из груза, прикрепленного к пружине (рис. 83). Полагают, что масса пружины мала и вся масса сосредоточена в грузе. Кроме того, считают, что груз не обладает упругостью, т. е. упругость пружины много больше упругости шарика. Трением и сопротивлением воздуха пренебрегают.

В состоянии равновесия в горизонтальном направлении на маятник силы не действуют. Если теперь растянуть пружину, то возникнет сила упругости, под действием которой груз начнет возвращаться в состояние равновесия. Пройдя состояние равновесия, в силу инертности груз будет отклоняться вправо и опять возникнет сила упругости, которая вновь вернет груз в состояние равновесия.

По закону Гука проекция силы упругости и смещение связаны следующим образом:

Сила, возвращающая пружинный маятник в состояние равновесия, прямо пропорциональна смещению и направлена в противоположную сторону.

По второму закону Ньютона F = та, следовательно, можно записать:

Ускорение колебаний пружинного маятника прямо пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону.