3.2. Построение касательных

Прямая, касательная к окружности, составляет с радиусом, проведенным в точку касания, угол 90^. Таким образом, для построения прямой, касающейся окружности в заданной точке, необходимо провести искомую прямую перпендикулярно к радиусу.

Рассмотрим некоторые примеры построения касательных и сопряжений.

П р и м е р 1

Через точку А провести прямую, касательную к окружности с центром О₁

(рис. 3.3).

Для решения поставленной задачи выполним следующие построения:

1) соединим прямой линией точки О₁ и А;

2) из точки О₂ – середины отрезка О₁А − проведем вспомогательную окружность радиусом О₂А до пересечения с заданной окружностью в точке В.

Последняя является точкой касания, так как угол АВО₁ равен 90^ (он опирается

на диаметр АО₁), следовательно, радиус О₁В является общей нормалью к прямой и дуге окружности в точке В.

П р и м е р 2

Построить общую касательную к двум окружностям с радиусами R₁ и R₂ (рис. 3.4).

Для решения задачи выполним следующие построения:

1) из центра О₁ большой окружности проведем вспомогательную окружность радиусом, равным разности R₁ и R₂, т. е. R₁ – R₂;

2) к этой окружности из точки О₂ проведем касательную О₂К так, как это выполняли в примере 1;

3) продолжим прямую О₁К до пересечения с заданной большой окруж­ностью, получим точку В, которая и является точкой касания. Из точки О₂ проведем прямую параллельно О₁В до пересечения прямой с окружностью в точке А, которая является второй точкой касания касательной АВ.

Рис. 3.3. Построение касатель-

ной прямой к окружности

Рис. 3.4. Построение касательной

к двум окружностям

3.3. Сопряжение двух прямых

П р и м е р 3

Построить сопряжение двух пересекающихся прямых m и n радиусом

сопряжения R_c (рис. 3.5).

Для выполнения этого зада- ния выполним следующие по- построения: 1) проведем параллельно за- нным прямым на расстоянии Rc от них прямые до пересечения в точке О; 2) из точки О, которая явля- ется центром дуги сопряжения,

Рис. 3.5. Построение сопряжения двух пересекающихся прямых

опустим перпендикуляры на заданные прямые и получим точки сопряжения А и В; из точки О радиусом R_с проведем дугу сопряжения между точками А и B.

3.4. Сопряжение прямой с окружностью (внутреннее и внешнее)

П р и м е р 4

Построить внешнее и внутреннее сопряжения окружности радиусом R_c

с центром О₁ с прямой t дугой заданного радиуса сопряжения.

Д

Рис. 3.6. Построение внешнего

сопряжения окружности и прямой

Рис. 3.7. Построение внутреннего сопряжения окружности и прямой

ля построения внешнего сопряжения выполним следующие действия

(рис. 3.6):

1) проведем прямую m параллельно прямой t на расстоянии Rс и вспомогательную окружность из центра О1 радиусом (R1 + Rc); точка пересечения прямой m и вспомогательной окружности – точка О – является центром дуги сопряжения; 2) соединим центры О1 и О прямой, пересечение ее с заданной окружностью даст первую точку сопряжения − точку А; 3) опустим перпендикуляр из точки О на заданную прямую t и получим вторую точку сопряже­ния – точку В; 4) из точки О проводим дугу сопряжения АВ радиусом Rс. Построение внутреннего со- пряжения окружности с прямой (рис. 3.7) выполняется аналогично построению внешнего сопряжения. Разница заключается в том, что ра- диус вспомогательной окружности равен не сумме радиусов, а их раз- ности (R1 – Rс).