3.3. Методы решения

Аналитическое (явное) решение, т. е. решение в виде готовой формулы, выражающей неизвестное x через параметры уравнения, можно получить только для ограниченного круга уравнений, например формулы для вычисления корней квадратного (аx²+bx+c=0) и кубического (x³+px+q=0) уравнений. Решение некоторых простейших трансцендентных уравнений может быть получено в аналитической форме с использованием степенных рядов, непрерывных дробей и т. д.

В большинстве случаев найти явное решение уравнения очень сложно или невозможно. Кроме того, использование аналитических формул для решения большинства уравнений не может обеспечить получение точного значения корня, поскольку коэффициенты уравнения являются приближенными величинами, определенными в результате измерений. Поэтому задача отыскания точного значения корня теряет смысл.

Ставится задача – определить приближенное значение корня уравнения с заданной точностью.

Приближенное решение математических задач лежит в основе численных методов.

3.3.1. Особенности численных методов решения

3.3.1.1. Этапы численного решения нелинейного уравнения

Численное решение уравнения f(x) = 0 (речь идет о действительных корнях) проводят в два этапа:

1) отделение корней, т. е. отыскание таких достаточно малых отрезков в области допустимых значений x, в которых содержится только один корень;

2) уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной точностью.

3.3.1.2. Отделение корней

Рассмотрим несколько способов отделения корней.

Способ 1 – по графику функции

y = f(x).

Корень уравнения

f(x) = 0 (3.12)

приближенно определяется как абсцисса точки пересечения графика с осью Оx (рис. 3.2). Устанавливаются границы a и b отрезка, в пределах которого заключен только один корень x^*.

Способ 2 – уравнение f(x) = 0 заменяют равносильным:

^{. (3.13)}

Строят графики функций и

Приближенное значение корня определяют как абсциссу точки пересечения этих графиков.

Например: отделим корень уравнения

^(3.14)

для области значений аргумента x > 0.

Преобразуем уравнение (3.14) к виду:

(3.15)

^где

Строим графики функций y1 = z(x) и y2 = g(x) (рис. 3.3) и находим приближенно корень x^* и отрезок .

Способ 3 – по таблице значений функции f(x) на заданном интервале изменения аргумента x.

Например, представим таблицу значений функции

. (3.16)

Из данных таблицы видно, что корень уравнения существует и его следует искать на отрезке [7,0; 10,0], так как значения функции на концах этого отрезка имеют разные знаки.

Таблица значений функции

x	1,0	4,0	7,0	10,0	13,0	16,0	19,0	22,0	25,0
f(x)	-14,0	-4,7	-1,6	0,2	1,4	2,4	3,2	3,8	4,4

Способ 4 – аналитический метод отделения корней, который базируется на знании следующих свойств функции:

а) если функция непрерывна на отрезкеи принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезкасуществует по крайней мере один корень уравнения;

б) если функция непрерывна и монотонна на отрезкеи принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производнаясохраняет постоянный знак внутри отрезка, то внутри этого отрезка существует корень уравненияи притом единственный.

Функция называетсямонотонной в заданном интервале, если при любых из этого интервала она удовлетворяет условию(монотонно возрастающая функция) и

a x^* b

ли (монотонно убывающая функция).

Необходимым и достаточным условием монотонности функции в заданном интервале является выполнение для всех внутренних точек этого интервала условия или

Зная свойства функции, можно сделать вывод о характере графика , что может существенно облегчить процесс отыскания корней. Продемонстрируем это для непрерывной и монотонной на отрезкефункции, которая принимает на концах отрезка значения разных знаков, имеет во всех точках интервала первую и вторую производные и, сохраняющие постоянный знак (рис. 3.4).