§ 7. Случайные величины. Опр. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно возможное значение, неизвестно заранее, какое именно.

Опр. Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные друг от друга возможные значения, которые можно перенумеровать.

Опр. Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток, конечный или бесконечный. Случайные величины обозначаются: ,,и т.д.

Опр. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для дискретной случайной величины закон распределения можно задать в виде таблицы (– возм. значения случайной величины,– соответствующие им вероятности)

xi	x1	x2	x3	…	xn
pi	p1	р2	р3	…	рn

Опр. Интегральной функцией распределения случайной величины называется функция, выражающая вероятность того, что случайная величинапримет значение меньшее, чем:

Св-ва интегральной функции 1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку :.2.- неубывающая функция, т.е., если 3. 4. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале, равна приращению интегральной функции на этом интервале:5. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно конкретное значение, равна нулю, т.е.Поэтому для непрерывной случайной величины справедлива формула

Опр. Дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятностей случайной величины в точкеназывается отношение вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок отдок длине этого участка, когда

Обозначается плотность вероятности через . По определению имеем:. Т.к., то.

Т.о., если существует , то существует и, что обычно и предполагают. Интегральная функция выражается через дифференциальную формулой:.

Свойства дифференциальной функции распределения: 1. , т.е. дифференциальная функция неотрицательна.2.. Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу, равна единице.

3. Вер-ть того, что непр. случ. вел-на примет значение в интервале, равна опред. интегралу от дифференциальной функции распред., взятому в пределах отдо:.Геом-ки эта вероятность равна площади кривол. трапеции.

§ 8. Числовые характеристики случайных величин. Опр. Математическим ожиданием случайной величины называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам– для дискретной случ. величины,– для непрерывной случайной величины. Для встречающихся на практике случ. величин указанный несобственный интеграл сходится.

Свойства математического ожидания. 1. , где С – постоянная величина.2. .3., еслии– независимые случайные величины.4. .

Опр. Разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданиемназываетсяотклонением случайной величины , т.е.. Математическое ожидание отклонения равно нулю:.

Опр. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения:.

Дисперсия вычисляется по формулам: – для дискретной случайной величины,– для непрерывной случайной величины.Св-ва дисперсии: 1. , где С – пост. величина.

2. .3. , еслии- независимые случайные величины.4.

Опр. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии: