Математика

Лекция 8

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ (продолжение)

§ 1. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ

Пусть в пространстве задана ось, т.е. направленная прямая. Направление прямой будем обозначать стрелкой. Заданное направление оси будем считать

которого B′ есть проекция на ось l конца B этого вектора.

Определение 3. Под проекцией вектора, а на ось l принимается скаляр al = ± A' B' ,

равный длине его компоненты a′ относительно оси l, взятой со знаком плюс, если направление компоненты совпадает с

направлением оси l, и со знаком минус, если направление компоненты противоположно направлению оси l.

Теорема 1. Проекция вектора, а на ось l равна

предположить, что начало его O лежит на оси l.

41

1) Если угол ϕ , между вектором a и осью l острый (0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ),

Таким образом, требуемая формула получена.

Следствие 1 Проекция вектора на ось:

1)положительна, если вектор образует с осью острый угол;

2)отрицательна, если этот угол — тупой,

3)равна рулю, если этот угол - прямой.

Следствие 2 Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Теорема 2. Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось.

Следствие. Проекция замкнутой векторной линии на любую ось равна нулю.

Теорема 3. При умножении вектора на скаляр его проекция на данную ось умножается на этот скаляр, т. е.

npl (ka)= knpl a.

Данная формула следует из теоремы 1 и смысла умножения вектора на скаляр.

Следствие. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т. е.

npl (k1 a + k2 b)= k1 npl a + k2 npl b.

§2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть (рис. 3) Ox,Oy,Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки O (начало координат) и образующие правую тройку (правая система координат), т. е. ориентированные по правилу правого буравчика. Иными словами, для наблюдателя, направленного по оси Oz , кратчайший поворот

42

соответствующее оси, называются координатными плоскостями, они делят все пространство на восемь октантов.

Для каждой точки М пространства (рис. 3) существует ее

плоскости MA, MB, MC , перпендикулярные соответственно осям Ox, Oy, Oz (рис. 3). Тогда на этих осях получатся направленные отрезки

OA = x, OB = y, Oc = z,

радиус-вектора г . Тогда с учетом приведенных формул получаем: cos2 α + cos2 β + cos2 γ = x2 / r 2 + y2 / r 2 + z2 / r 2

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов радиус-вектора точки пространства равна 1.

Легко видеть, что координата точки M положительна, если радиус-вектор

43

этой точки образует острый угол с соответствующей координатной осью, и отрицательна, если этот угол тупой. В частности, в I октанте пространства, ребра которого составляют положительные полуоси координат, все координаты точек положительны. В остальных октантах пространства отрицательными координатами точек будут те, которые соответствуют отрицательно направленным ребрам октанта.

Измерения x , y , z параллелепипеда П равны расстояниям точки М соответственно от координатных плоскостей Oyz,Ozx,Oxy . Таким образом,

декартовы прямоугольные координаты точки М пространства

представляют собой расстояния этой точки от координатных плоскостей, взятые с надлежащими знаками.

В частности, если точка М (х, у, z) лежит на плоскости Oyz, то x = 0 ; если - на плоскости Ozx , то y = 0; если же - на плоскости Oxy , то z = 0, и обратно.

44

Лекция 9

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ (продолжение)

§ 1. ДЛИНА И НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА

Пусть в пространстве 0xyz задан вектор а. Проекции этого вектора на оси координат

ax = пр. x , ay = пр. y , az = пр. z .

называются координатами вектора а; при этом вектор мы будем записывать так: a = {ax, ay , az }.

Так как вектор, а свободный, то его можно рассматривать как радиус- вектор точки M (ax , ay , az ). Отсюда получаем длину вектора

a = a = ax2 + ay2 + az2

т. е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора, а определяются из уравнений

ax = a cosα , ay = a cos β , az = a cosγ ,

причем,

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Направляющие косинусы ненулевого вектора однозначно определяют его направление. Следовательно, вектор полностью характеризуется своими координатами.

§ 2. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ

Пусть М1 (X1,Y1,Z1) — начальная точка отрезка l= M1 M 2 и M2(x2,y2,z2) — конечная точка его. Точки М1 и М2 можно задать их радиус-векторами

Рис.1

45

Таким образом, проекции направленного отрезка на оси координат равны разностям соответствующих координат конца и начала отрезка.

Тогда длина отрезка или расстояние между двумя точками M1 и M2 ,будет равна

l = lx2 + ly2 + lz2 = (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

Таким образом, расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из квадратов разностей одноименных координат этих точек.

§3. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ,

ЗАДАННЫМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ.

Пусть вектор a = {ax , ay , az } задан своими проекциями на оси координат

0x,0y,0z .

Построим параллелепипед (рис 1), диагональю которого является вектор

O j i

Рис. 1.

Введя единичные векторы (орты) i, j, k, направленные по осям координат, на основании связи между компонентами вектора и его проекциями будем иметь:

a1 = ax i; a2 = ay j, a3 = az k

46

Поставляя эти выражения в равенство a = a1 + a2 + a3 , получаем координатную форму вектора:

a = ax i + ay j + az k

Заметим, что данные разложение для вектора a единственно. Действительно, пусть имеем другое разложение

a = ax ′ i + ay ′ j + az ′ k

Отсюда, вычитая из первого равенства второе и пользуясь переместительным и сочетательным свойствами суммы векторов, а также свойствами разности векторов, будем иметь

Если хотя бы один из коэффициентов при ортах l, j и k был бы отличен от нуля, то векторы l, j,k были бы компланарны, что неверно.

Поэтому

ax ′ = ax , ay ′ = ay , az ′ = az

и единственность разложения доказана.

Если b = {bx ,by ,bz }то, очевидно, также имеем b = bx i + by j + bz k ,

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде:

1)λ a = λax i + λay j + λaz k ,

или короче:λ a = {λax , λay , λaz } ( λ -скаляр). Таким образом, при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

2) a ± b = (ax ± bx )i + (ay ± by )j + (az ± bz )k ,

или кратко: a ± b = {ax ± bx , ay ± by , az ± bz }.

Таким образом, при сложении (или вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются).

47

Лекции 10 и 11

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ (продолжение)

§ 1. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ Определение. Под скалярным произведением двух векторов a и b

понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. в обычных обозначениях:

a b = (a, b)= ab cosϕ , где ϕ = (a, b).

Заметим, что в приведенной формуле скалярное произведение можно

Скалярное произведение обладает основными свойствами:

1) Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство):

ab = ba .

Эта формула непосредственно следует из определения скалярного произведения.

2) Для трех векторов a , b и c справедливо распределительное свойство

(a + b)c = ac + bc

т. е. при скалярном умножении суммы векторов на вектор можно «раскрыть скобки».

Действительно, учитывая свойства проекций векторов, имеем

(a + b)c = npc (a + b)c = (npc a + npc b)= npc a • c + npc b = ac + bc

3) Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т. е. a2 = a2 .

Действительно,

a2 = a a = aa cos(a,a)= a2 .

48

a= (a, a)

4)Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е. (λ a, b)= (a, λb)= λ (a, b).

Это свойство также легко получается из определения.

5) Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т. е.

(λ a + µ b, c)= λ (a, c)+ µ (b, c), = λ , где λ и —

скаляры.

Это — очевидное свойств 2) и 4).

Из определения также вытекает, что косинус угла ϕ = (a,b) между двумя ненулевыми векторами а И b равен

cosϕ = ab / ab .

Из последней формулы получаем, что два вектора a и b перпендикулярны, т. е. ϕ = π / 2, тогда и только тогда, когда

ab = 0

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов a или b нулевой.

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть

a = ax i + ay j + az k и b = bx i + by j + bz k

Перемножая эти векторы как многочлены, учитывая соотношения i j = jk = ki = 0

и

ii = j j = kk = 0

будем иметь

ab = ax bx + ay by + az bz

49

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме парных

произведений их одноименных координат. Отсюда, обозначая через ϕ угол между векторами a и b , получим

cosϕ = ab / ab = (ax bx + ay by + az bz )/( ax2 + ay2 + az2 )( bx2 + by2 + bz2 )

Пусть векторы a и b коллинеарны (параллельны). Согласно условию коллинеарности

b = ka ,

где k — скаляр, что эквивалентно bx = kax ,by = kaa ,bz = kaz

или

bx / ax = by / ay = bz / az

Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их

нат равна нулю.

§ 2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Напомним, что тройка a , b и c некомпланарных векторов называется правой (рис. 1, а), или левой (рис. 1, б), если она ориентирована по правилу правого винта или соответственно по правилу левого винта.

50