Математика

Для получения решения исходной системы в этом случае, предположим, что матрица A невырожденная, т. е. определитель A ≠ 0, и для нее существует

обратная матрица A−1 .

Умножая обе части равенства A X = B слева на матрицу A−1 , получаем

A−1 (AX ) = (A−1 A)X = EX = X ,

и решением системы будет вектор-столбец X = A−1 B .

Пример. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.

x − 2x + 3x = 7;

1 + 2 − 3 =

2x1 3x2 x3 0;

− 2x2 + x3 = 7.

Решение. Представим систему в матричном виде:

существует обратная матрица - A−1 . Для ее нахождения, в начале, транспонируем матрицу A.

Затем найдем алгебраические дополнения к матрице AT .

21

Здесь A1i b1 + A2i b2 + L+ Ani bn есть разложение определителя

Полученные формулы называются формулами Крамера.

Таким образом, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено также по формулам Крамера.

23

24

Лекция 5

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (продолжение)

§ 1. МЕТОД ГАУССА

Решить систему линейных уравнений – значит получить равносильную ей систему, которая уже является разрешенной или несовместной. Это удобно сделать при помощи метода Гаусса, который позволяет привести систему к более простому виду, с помощью элементарных преобразований строк в расширенной матрице системы

ОПИСАНИЕ МЕТОДА ГАУССА

Пусть дана система линейных уравнений. Поставим на первое место любое уравнение с ненулевым коэффициентом при x1:

номер уравнения в системе (номер строки системы).

после этого все коэффициенты при переменной x1 во всех уравнениях равны a11.

25

В данном случае система, из-за последнего уравнения, несовместна и следовательно не имеет решений.

Рассмотрим основную матрицу системы, ее ранг очевидно равен 2. Рассмотрим расширенную матрицу системы и минор из первого столбца, второго столбца и столбца свободных членов. Порядок полученного минора равен 3. Следовательно, ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы.

Случай 3. Система методом Гаусса приведена к следующему виду:

Последнее уравнение системы обратилось в ноль, и система стала недоопределенной – два уравнения на три неизвестных. Запишем решение системы следующим образом:

Задавая различные значения параметра k, мы получим различные решения системы. Следовательно, решений бесконечно много. Так как решение зависит от одного параметра, то размерность решения равна 1.

Рассмотрим ранги основной матрицы системы и расширенной матрицы, они, очевидно, совпадают (равны 2), но меньше размерности системы (количества неизвестных).

Замечание 1.: Все сказанное относительно рангов матриц верно так же и для неприведенной (изначальной) системы. Так как метод Гаусса не изменяет систему и не изменяет абсолютные величины определителей, а соответственно и ранги рассматриваемых матриц.

27

Вышеприведенные случаи иллюстрируют основную теорему теории линейных систем:

Теорема Кронекера-Капелли: Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Следствие: Если ранги основной и расширенной матриц линейной системы совпадают с количеством переменных, то система имеет единственное решение.

Заметим, что при применении метода Гаусса на практике имеет смысл вместо преобразований системы производить соответствующие преобразования над строками расширенной матрицы системы, т. е. приводить расширенную матрицу системы к трапециевидной с помощью элементарных преобразований над строками.

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид

Прибавив ко второй строке первую, умноженную на (-2), к третьей – первую, умноженную на (-3), к четвертой – первую, умноженную на (-1), получим

Разделим третью строку на 13 и поменяем местами вторую и третью строки:

28

Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-9), к четвертой – вторую, умноженную на (-2):

Разделив вторую строку на (-2), а третью на (-7), имеем

29

Лекция 6

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (продолжение)

§1. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ.

Рассмотрим систему линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, …, xn. Предположим, что ранг основной матрицы системы совпадает с рангом

расширенной матрицей системы и равен m. Тогда система методом Гаусса может быть приведена к следующему виду с точностью до нумерации переменных:

Рассмотрим соответствующую однородную систему (столбец свободных членов равен нулю):

Переменные x1, x2, …, xm называются базисными, переменные xm+1, xm+2, …, xn называются свободными. Выразим главные переменные через свободные:

Введем параметры

30