Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matematika

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.04.2015

Размер:

2.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

где функции A

; знак выбирается в за-

висимости от стороны поверхности S .

Формула Стокса

cosα

cosβ

cosγ

P(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz

cosα

cosβ

cosγ dS .

Здесь

C – простой замкнутый контур, ограничивающий поверхность S ; cosα,cosβ,cosγ – направляющие косинусы нормали к поверхности S ; нормаль ориентирована так, что относительно нее обход контура C совершается против часовой стрелки.

Формула Остроградского-Гаусса

(P(x,y,z) cosα Q(x,y,z) cosβ R(x,y,z) cosγ)dS

S
		P	Q	R
		P	Q	R	dxdydz .
					dxdydz .
		x	y	z
	T	x	y	z

Поверхность S ограничивает замкнутую область пространства T ; cosα,cosβ,cosγ – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S .

5.5.Элементы теории поля

Вобласти V задано скалярное поле, если каждой точке M области поставлена в соответствие скалярная величина u u(M), т.е. если задана

функция трех переменных u(M) u(x,y,z).

В области V задано векторное поле, если каждой точке M области

поставлена в соответствие векторная величина F F(M), т.е.

F(M) P(x,y,z) i Q(x,y,z) j R(x,y,z) k ,

где P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – три функции трех переменных. Градиентом скалярного поля u u(x,y,z) называется вектор

gradu u i u j u k .

x y z

Градиент скалярного поля представляет собой векторное поле.

Дивергенцией векторного поля называется скаляр

divF P Q R .

x y z

Дивергенция векторного поля представляет собой скалярное поле. Вихрем (ротором) векторного поля называется вектор

rotF

k .

Вихрь векторного поля также представляет собой векторное поле. Потоком векторного поля через поверхность S в сторону, определяе-

мую единичным вектором нормали n cosα i cosβ j cosγ k , называется поверхностный интеграл

F ndS Fn dS (Pcos Qcos Rcos )dS .

S S S

Здесь F n – скалярное произведение вектора поля и единичного вектора выбранного направления нормали.

Поток векторного поля представляет собой число. Криволинейный интеграл от вектора F по кривой AB

F dr Pdx Qdy Rdz ,

AB AB

представляющий собой работу векторного поля при перемещении вдоль кривой AB.

Циркуляцией вектора по замкнутому контуру C называется интеграл

F dr Pdx Qdy Rdz.

C C

F dr n rotF dS – формула Стокса в векторной форме.

divF dV F ndS – формула Остроградского-Гаусса

ввекторной форме (нормаль n ориентирована так, что относительно нее

обход контура C совершается против часовой стрелки).

k – оператор Гамильтона,

u u,

rot

grad

divF

Векторное поле называется

безвихревым, если rotF 0,

потенциальным, если F gradu ,

соленоидальным (или трубчатым), если divF 0.

6. Ряды

6.1. Числовые ряды

Необходимое условие сходимости ряда:

если числовой ряд u1 u2 un un сходится, то

n 1

Достаточное условие расходимости ряда:

lim un 0.

если lim un 0, то ряд u1 u2 un un расходится.
n	n 1
Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами
1-я теорема сравнения рядов.
Если ряд (2)	v1 v2 vn сходится и для ряда
(1)	u1 u2 un
un vn, то ряд (1) сходится.
Если ряд (2)	v1 v2 vn расходится и для ряда
(1)	u1 u2 un

un vn, то ряд (1) расходится. 2-я теорема сравнения рядов.

Если существует конечный предел lim un a 0, то оба ряда

n vn

un и vn сходятся или расходятся одновременно.

n 1	n 1
3. Признак Даламбера.				при a 1рядсходится,
			un 1	при a 1рядсходится,
Если для ряда un предел		lim	un 1	a, то
Если для ряда un предел		lim		a, то
	n 1	n un		при a 1рядрасходится

(при a=1 признак не работает). 4. Признак Коши.

		при a 1рядсходится,
	lim n un	при a 1рядсходится,
Если для ряда un предел	lim n un	a, то
n 1	n	при a 1рядрасходится

(при a=1 признак не работает). 5. Интегральный признак Коши.

Ряд un сходится или расходится вместе с несобственным интегра-

n 1

лом f (x)dx, где un f (n).

Знакочередующийся ряд

u1 u2 ( 1)n 1un ( 1)n 1un (un 0).

n 1

Признак Лейбница.
Если для знакочередующегося ряда u	u	2	u	n	и lim u	n	0,
1		2		n	n	n

то ряд ( 1)n 1un сходится.

n 1

Знакопеременные ряды

Знакопеременный ряд (1) u1 u2 un сходится абсолютно, если сходится ряд из абсолютных величин (2) |u1 | |u2 | |un | .

Знакопеременный ряд (1) u1 u2 un сходится условно, если ряд (1) сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин (2) расходится.

6.2. Функциональные ряды

u0(x) u1(x) u2(x) un(x) un(x).

n 0

Область сходимости ряда – это множество значений переменной x, при которых ряд сходится. Чтобы найти область сходимости, надо решить неравенства

		un 1(x)
lim			1 или lim n	un(x)	1.

	un(x)
n			n

На границах найденной области необходимо дополнительное исследование сходимости.

6.2.1. Степенные ряды

a0 a1(x x0) a2(x x0)2 an(x x0)n an(x x0)n .

n 0

Область сходимости степенного ряда представляет собой интервал числовой оси x x0 R, где радиус сходимости R можно найти по фор-

муле R lim	an	или R	1		.
	an 1

n			lim n	an
n			lim n	an
			n

Любую функцию, имеющую в точке x0 производные любого порядка, можно разложить в ряд Тейлора

f (x) f (x0) f (x0)(x x0) f (x0)(x x0)2 f (n)(x0)(x x0)n
1!	2!	n!

(n)

(x0)

или f (x)

(x x0)n .

n 0

При x0 0 получается ряд Маклорена

f (0)

(n)

(0)

(n)

(0)

f (x) f (0)

xn .

n 0

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена (для каждого ряда указан интервал сходимости)

ex 1

( x )..

2n 1

n 0 n!

2n 1

sinx

( 1)n 1

( 1)n

( x ).

(2n 1)!

n 0

(2n 1)!

cosx 1

( 1)n

( x ).

(2n)!

n 0

(2n)!

sh x

x2n 1

( x ).

(2n 1)!

n 0(2n 1)!

ch x 1

x2n

( x ).

(2n)!

n 0(2n)!

m(m 1)

m(m 1) (m (n 1))

(1 x)

m(m 1) (m (n 1))

при

m 0

( 1 x 1),

(1 x)m

при 1 m 0

( 1 x 1),

n 0

при

m 1

( 1 x 1).

n 1

ln(1 x) x

( 1)n 1

( 1)n

( 1 x 1).

n 0

n 1

2n 1

arctgx x

( 1)n 1

( 1)n

( 1 x 1).

(2n 1)

n 0

6.2.2. Тригонометрические ряды (ряды Фурье)

Разложение функции y f (x) на отрезке [– , ]

		a0					1
f (x)			am cosmx bm sinmx , где a0					f (x)dx,

		2
			m 1
	1				1
am			f (x)cosmxdx (m 0,1,2, ),	bm		f (x)sinmxdx (m 1,2, ).

Разложение функции y f (x)

на отрезке

m x

f (x)

cos

b sin

где

m 1

[ l,l]

1 l

a0 l l f (x)dx,

1 l

m x

1 l

m x

f (x)cos

dx,

f (x)sin

(m 1,2, ).

Разложение четной функции y f (x) на отрезке [ l,l]

m x

am cos

f (x)

, где a0

f (x)dx,

m 1

2 l

m x

f (x)cos

dx (m 1,2, ),

bm 0.

Разложение нечетной функции y f (x) на отрезке [ l,l]

m x

f (x) bm sin

, где

m 1

2 l

m x

f (x)sin

dx (m 1,2, ),

am 0.

7.Функции комплексного переменного

7.1.Комплексные числа


	Алгебраическая форма комплексного числа					мнимая единица
z x iy, где x,y		– действительные числа, i			–
z x iy, где x,y		– действительные числа, i		1	–
(i2 1). Число x		называется действительной частью,				iy	– мнимой ча-
стью комплексного числа z.
z	x iy – сопряженное к z		комплексное число.
	Пусть z1 x1 iy1, z2 x2		iy2 . Тогда z1 z2 , если x1			x2	и y1 y2;

z1 z2 (x1 x2) i(y1 y2);
z1 z2 (x1 x2 y1 y2) i(x1 y2 x2 y1) ;
z	z	(x iy) (x iy) x2 y2;
z1			x1 x2 y1 y2			i	x2 y1 y2 x1		.

z2				x2	y2		x2 y	2
				2	2		2	2
		Геометрически					комплексное число
z x iy				изображается точкой M(x,y) ко-

ординатной плоскости OXY, которая в этом случае называется комплексной плоскостью

(рис. 7.1).

	Y
ось	y		M(x,y)
	y
		r=\|z\|
Мнимая		r=\|z\|
Мнимая		=arg z	x	X
			x	X

O Действительная ось

Рис. 7.1. Комплексная плоскость

Ось OX называется действительной осью, ось OY – мнимой осью. Тригонометрическая форма комплексного числа

z r (cos i sin ), где

r | z| x2

y2 – модуль комплексного числа,

argz arctg

– аргумент комплексного числа,

x r cos ,

y r sin – связь декартовых и полярных координат.

Пусть z1 r1 (cos 1 i sin 1), z2 r2 (cos 2 i sin 2). Тогда

z1 z2 r1 r2 (cos( 1 2) i sin( 1 2)) ;

(cos( 1 2) i sin( 1 2)) ;

zn rn (cosn isinn );

(cos isin )n cosn isinn – формула Муавра;

n z n r cos

i sin

, k 0,1, ,n 1

– всего

n значений.

7.2. Определение функций комплексного переменного

Функции комплексного переменного ez,sin z,cosz,shz,chz определяются как суммы степенных рядов, формально совпадающих с соответствующими рядами для функций действительного переменного. Разница заключается в том, что для функций действительного переменного эти разложения выводятся (доказываются), а для функций комплексного пере-

менного принимаются за определение.

...;

sinz

cosz 1

...;

shz

e z

z z3

chz

ez e z

...;

....

Эти ряды сходятся во всей плоскости комплексного переменного. Если функция комплексного переменного представлена в виде сте-

пенного ряда, то область сходимости ряда является кругом некоторого радиуса: | z z0 | R, число R называется радиусом сходимости ряда. Такая функция называется аналитической в данном круге. Для перечисленных выше рядов радиус сходимости R .

Для этих функций комплексного переменного сохраняются привычные свойства:

z z

ez1

z z

e 1

2 ,

e 1 2

, sin(z

) sinz cosz

sinz cosz ,

ez2

cos(z1 z2) cosz1cosz2 sinz1sinz2 и т.п.

Формула Эйлера: ezi cosz isin z. Из нее видно, что функция ez является периодической с мнимым периодом 2πi.

Из формулы Эйлера		следует,	что	cos(iz) ch z,			sin(iz) i sh z ,
ch(iz) cosz, sh(iz) i sin z.
Функции	z1/n (n N),	lnz, arcsinz, arccosz,			arctgz, arcctgz				опреде-
ляются как обратные к функциям ez ,			sinz,	cosz,	tgz	sin z		, ctgz		cosz	.

						cosz				sin z
Эти функции	являются	многозначными:		если	\| z\| r ,			argz , то

ln z lnr i ( 2kπ) (k 0, 1, 2, ).

7.3. Дифференцирование и интегрирование функций комплексного переменного

Определение производной функции комплексного переменного не отличается от определения производной функции действительного переменного. Глубокое отличие заключается в том, что для функций комплексного переменного из существования производной первого порядка следует существование производных всех порядков, а для функции действительного переменного это не так.

Основная теорема теории функций комплексного переменного: любая аналитическая функция имеет производные всех порядков.

Если представить функцию комплексного переменного в виде действительной и мнимой части w f (z) u(x,y) iv(x,y), то для существова-

ния производной dw недостаточно дифференцируемости функций двух dz

переменных u(x,y) и v(x,y): для их частных производных должны выпол-

няться следующие условия Коши-Римана:	u	v	,	u	v	.
	x			y
		y			x

Если условия Коши-Римана выполняются, то производную dw можно dz

выразить через частные производные от действительных функций u(x,y) и

v(x,y) по действительным переменным x и y: dw u i v . Заменив ча- dz x x

стные производные из условий Коши-Римана, можно получить и другие

выражения для производной dw : dz

dz x

dz y

Правила дифференцирования и интегрирования функций комплексного переменного не отличаются от соответствующих правил для функций действительного переменного.

8.Дифференциальные уравнения

8.1.Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными

f1(x) 1( y)dx f2 (x) 2 ( y)dx 0

f1(x)

2 (y)

dy .

f2 (x)

1(y)

Однородные уравнения y f

Подстановка

y tx

y t x t сводит однородное урав-

нение к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные y P(x)y Q(x).

Подстановка y u(x)v(x)

u v

Уравнение Бернулли y P(x)y ynQ(x).

Обе части умножаем на y n ,

получаем y n y P(x)y1 n Q(x). Из этого

уравнения путем замены y1 n

(1 n)y n y z – получаем линейное

уравнение

P(x)z Q(x). Уравнение Бернулли можно также решить

1 n

как линейное с помощью подстановки y u(x)v(x).

8.2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения, допускающие понижение порядка

y(n) f(x)

– проинтегрировать n раз по x.

F(x, y , y ) 0– применить подстановку

F(y,y ,y

) 0– применить подстановку

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

a0 y a1y a2 y 0

(a0 0) .

Составляем характеристическое уравнение a0λ2 a1λ a2 0,

находим его корни λ1,2

2a0

Если a12	4a0a2	0	, то λ1 λ2 , общее решение y C1eλ1x C2eλ2x .
Если a12	4a0a2	0	, то λ1 λ2	a1	, общее решение y (C1 C2x)eλ1x .

				2a0
Если a12	4a0a2	0	, то λ1,2 α βi, общее решение y eαx(C1cosβx C2sinβx).

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами a0 y a1y a2 y q(x) (a0 0) .

Общее решение y Y y, где

Y – общее решение однородного уравнения a0 y a1y a2 y 0, y – частное решение данного неоднородного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных

Если y1(x) и y2 (x) – частные линейно независимые решения однород-


ного уравнения				y1		, то	y C1(x) y1(x) C2 (x) y2 (x) –

	a0y	a1y a2y 0	y		const
			2

общее решение неоднородного уравнения a0 y a1 y a2 y q(x). Функции C1(x) и C2 (x) определяются путем решения системы

C1 (x) y1 (x) C2 (x) y2 (x) 0,

C1 (x) y1 (x) C2 (x) y2 (x) q(x)

с последующим интегрированием.

Метод неопределенных коэффициентов (применяется для правой час-

ти q(x) специального вида).

Если a0y a1y a2y Pn(x) eαx, где Pn(x) – заданный многочлен степени n, – характеристика правой части, то частное решение неоднород-

ного	дифференциального уравнения имеет вид	y	Q (x) eαx xm	, где
			n
Qn(x)	– полный многочлен степени n с неопределенными коэффициента-

ми, m – число корней характеристического уравнения a0λ2 a1λ a2 0,

совпадающих с характеристикой правой части .

Если a0 y a1y a2 y eαx Pn(x) cosβx Qk (x) sinβx , где Pn(x) и

Qk (x) – заданные многочлены степеней n и k, α βi – характеристика пра-

вой части, то частное решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид y eαx M(x) cosβx N(x) sinβx xm, где M(x) и N(x)

– полные многочлены с разными неопределенными коэффициентами одинаковой степени, равной наибольшему из чисел n и k, m – число корней характеристического уравнения, совпадающих с характеристикой правой части α βi.

Для уравнения a0 y a1y a2y q1(x) q2(x) частное решение равно сумме частных решений уравнений a0 y a1y a2 y q1(x) и a0 y a1y a2y q2(x).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
08.04.201510.82 Mб112Lektsia_9_bulvarydoc.doc
#
16.11.2019445.44 Кб2Lektsii_po_ekonomike_Energo-IVT.doc
#
08.04.201585.5 Кб27Lek_22_zhil_ter.doc
#
08.04.2015262.14 Кб56lukoyl.doc
#
08.04.201549.66 Кб20MAGNA CARTA.doc
#
08.04.20152.12 Mб47matematika.pdf
#
14.03.20162.25 Mб18Matematika_Testovaya_chast_EGELIGHT_RU.pdf
#
23.09.2019158.72 Кб16material_studentam_NESTANDART_SITUATsIJ.doc
#
22.11.201937.82 Кб12math.docx
#
08.11.2018483.33 Кб11mech&avt_01.doc
#
08.11.201892.67 Кб14mech&avt_02.doc