matematika

l || l

1 ||

2

m1

n1

p1

,

2

S

S

1

m2

n2

p2

m1

n1

p1 0

– условие расположения двух

m2

n2

p2

прямых в одной плоскости.

Угол между прямой и плоскостью

l :

x x0

y y0

z z0

,

{m,n, p}, P: Ax+By+Cz+D =0,

{A,B,C},

N

S

m

n

p

sin(l,P)

Am Bn Cp

,

A2 B2 C2 m2 n2 p2

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

l || P

Am Bn Cp 0,

S

N

l P

||

A

B

C

.

S

N

m n

p

y

r M(x,y)

p

,0

– фокус, ε 1 – эксцентриситет,

F

2

x 2p

F(2p ,0)

x

x p – уравнение директрисы,

2

r x p – фокальный радиус-вектор.

2

Рис. 3.5

x X a,

– параллельный перенос осей

X

y Y b

O1(a,b)

x

O

Рис. 3.6

y

Y

x X cos Y sin ,

– поворот осей

X

y X sin Y cos

x

O

Рис. 3.7

x2 y2 z2 R2 –

x

2

y

2

z

2

1

–

сфера (рис. 3.8)

a

2

b

2

c

2

z

эллипсоид (рис. 3.9)

y

y

x

x

Рис. 3.9

Рис. 3.8

x2

y2

1 –

x2

y2

1 –

y2 2px –

a2

b2

a2

b2

параболический

эллиптический

гиперболический

(рис. 3.17)

(рис. 3.15)

(рис. 3.16)

z

z

z

x

y

x

y

x

y

Рис. 3.17

Рис. 3.15

Рис. 3.16

x 0

x

1

1

x

e, lim 1 x

x

e –

второй замечательный предел (e 2,718).

lim 1

x

x

x 0

f (x)

f

f (x)

0

lim

lim

(x)

, lim

lim

f (x)

,

– правило Лопиталя.

0

x x0 (x)

x x0 (x)

x (x)

x (x)

4.2. Производная и дифференциал

4.2.1. Правила дифференцирования

(u v) u v

–

производная суммы (разности),

(u v)

–

производная произведения,

u v v u

(c y) cy

– постоянный множитель выносится за знак производной,

u

u v v u

–

производная дроби.

v2

v

x x(t),

y

yx

y

(t)

,

yx

(t)x (t) x

(t)y (t)

–

3

y y(t),

x (t)

x (t)

y f(x),

–

дифференциал функции.

dy f (x)dx

y f (u(x))

yu

fu ux

– производная сложной функции.

(c) 0

1

tgu x

ux

cos

2

u

α

α-1

1

u

x

α u

ux

ctgu

x

ux

sin

2

u

eu ux

tgu secu ux

eu x

secu x

au x au lna ux

cosecu x ctg u cosecu ux

1

uv x

uv lnu vx

v uv 1 ux

arcsinu x

ux

1 u2

1

1

lnu x

ux

arccosu

x

ux

u

1 u2

1

1

1

loga u x

ux

arctgu x

ux

lna

u

1 u2

1

sinu x

cosu ux

arcctgu

x

u

x

1 u

2

sinu ux

cosu x

Гиперболические функции и их производные

e

u

e

u

chu ux

shu

shu x

u

2

u

e

e

shu ux

chu

chu x

2

1

shu

thu

thu x

chu

ch2 u ux

chu

1

cthu

cthu shu

x

sh2 u ux

y y0

f

– касательная к кривой y f(x) в точке (x0,y0).

(x0) (x x0)

y y

0

1

(x x

0

) – нормаль к кривой y f(x) в точке (x

,y

0

).

f

(x )

0

0

y f (x0)

f (x0) (x x0) – приближенное вычисление с помощью диф-

ференциала при малом x x x0.

f

(x) 0 – функция возрастает,

f

(x) 0 – функция убывает,

f (x0) 0

( )

– M0(x0, f(x0))

критическая точка 1-го рода.

Если в окрестности критической точки при переходе слева направо

f

меняет знак с "+" на "–", то M0

– точка максимума,

(x)

f

меняет знак с "–" на "+", то M0

– точка минимума,

(x)

f

не меняет знака, то экстремума в точке M0 нет.

(x)

Если

,

а f

, то M0

– точка максимума,

f

(x0) 0

(x0) 0

f

,

а f

, то M0

– точка минимума,

(x0) 0

(x0) 0

f

и f

, то необходимо исследовать с помощью первой

(x0) 0

(x0) 0

производной.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

f

– кривая y f(x)

вогнутая (выпуклая вниз),

(x) 0

f

– кривая y f(x)

выпуклая (выпуклая вверх),

(x) 0

f (x0) 0

( )

– M0(x0, f(x0))

критическая точка 2-го рода.

Если f

M0(x0, f(x0)) меняет знак,

(x) в окрестности точки

то

M0 – точка перегиба кривой y f(x).

Асимптоты кривой y f(x)

k lim

f(x)

,

b

lim ( f(x) kx).

x

x

x

kср

α

– средняя кривизна дуги AB, где s – длина дуги AB.

s

k lim

α

– кривизна линии в точке A.

s 0 s

kокр

1

– кривизна окружности, где r – радиус окружности.

r

Кривизна прямой равна нулю.

k

y

– кривизна линии, заданной явно y f (x).

(1

y 2

)3/ 2

k

xt yt xt yt

– кривизна линии, заданной параметрически

(xt2 yt2)3/ 2

x x(t), y y (t).

k

ρ2 2ρ 2 ρρ

– кривизна линии, заданной в полярных

(ρ2 ρ 2)3/ 2

2

)

1 y

2

ξ x

y (1 y

,

η y

– координаты центра кривизны

y

y

линии, заданной явно y f (x).

ξ x

yt (xt2

yt2)

,

η y

xt (xt2 yt2)

– координаты центра

xt yt xt y

xt yt xt y

dz

z

dx

z

dy,

z dz,

f(x dx,y dy) f(x,y) dz,

x

y

Производная функции z f(x,y)

в точке M0 (x0 , y0 )

по направлению

вектора

{cosα, sinα}: