![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§ 3. Предел функции. Вычисление пределов
- •Неопределенность типа
- •Неопределенность типа
- •Простейшие иррациональные выражения
- •Первый замечательный предел
- •Второй замечательный предел
- •§ 4. Непрерывные функции. Точки разрыва
- •Глава 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •§ 1. Производная
Неопределенность типа
Чтобы
найти предел дробной рациональной
функции
при
,
необходимо подставить
в числитель и знаменатель дроби. Если
при этом получится неопределенное
выражение вида
,
то необходимо числитель и знаменатель
дроби разделить на
,
где
– наивысшая степень знаменателя.
Пример
Найти
предел функции:
.
Решение:
Числитель
и знаменатель дроби неограниченно
возрастают при
,
т.е. имеет место неопределенность вида
.
Разделив на
числитель и знаменатель дроби, получаем:
=
так
как при
каждая из дробей
,
,
,
стремится к нулю.
Пример
Найти
предел:
.
Решение:
Числитель
и знаменатель дроби неограниченно
возрастают при
,
т.е. имеет место неопределенность вида
.
Разделив числитель и знаменатель дроби
на
(наивысшая
степень знаменателя), получаем:
=
.
Пример
Найти
предел:
.
Решение:
Числитель
и знаменатель дроби неограниченно
возрастают при
,
т.е. имеет место неопределенность вида
.
Разделив числитель и знаменатель дроби
на
(наивысшая
степень знаменателя), получаем:
=
.
Таким
образом, если степень числителя меньше
степени знаменателя, то предел при
равен
нулю; если степень знаменателя меньше
степени числителя, то предел при
равен бесконечности (
).
Неопределенность типа
Пример
Найти
предел:
Решение:
Вначале
убеждаемся, что предел функции нельзя
найти непосредственной подстановкой,
что при указанном изменении аргумента
она представляет отношение двух
бесконечно малых величин (случай
);
затем делаем преобразования, чтобы
сократить дробь на множитель, стремящийся
к нулю.
1)
Раскладываем знаменатель на множители
и сокращаем дробь на
:
.
Вообще,
если ищется предел функции при
,
то необходимо помнить, что
не принимает значения
,
т.е.
и
.
Пример
Найти
предел:
Решение:
Раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители, как квадратные трехчлены, по формуле
,
где
и
– корни трехчлена. Затем сокращаем
дробь на
:
.
Пример
Найти
предел:
.
Решение:
Сначала
подставим в функции предельное значение
и убедимся, что имеем неопределенность
вида
.
Тогда получаем
=
.
В этом примере разложение на множители осуществлялось вынесением за скобку общего множителя.
Простейшие иррациональные выражения
Пример
Найти
предел
Решение:
Так
как непосредственная подстановка
предельного значения аргумента
дает неопределенность вида
,
то для ее раскрытия следует уничтожить
иррациональность в числителе. Для этого
умножим и числитель и знаменатель на
множитель, сопряженный числителю, т.е.
на сумму
,
получим:
=
=
=
=
=
=
.
При
вычислениях мы воспользовались формулой
сокращенного умножения
.
Пример
Вычислить
предел
.
Решение:
Так
как непосредственная подстановка
предельного значения аргумента
дает неопределенность типа
,
то для ее раскрытия необходимо избавиться
от иррациональности в числителе и
знаменателе:
=
=
=
.
Пример
Найти
предел
.
Решение:
При
подстановке предельного значения
получаем разность двух бесконечно
больших величин, т.е. неопределенность
вида
.
Для ее раскрытия умножим и разделим
данное выражение на сопряженное, т.е.
=
=
.
Первый замечательный предел
Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице:
,
или
.
Пример
Найти
предел
Решение:
Подставляя
предельное значение аргумента
,
получаем неопределенность вида
.
Домножая числитель и знаменатель на 2
и используя первый замечательный предел,
имеем:
=
=
Пример
Найти
предел
.
Решение:
=
=
=
=
.
Пример
Найти
предел
.
Решение:
=
=
=
.
Пример
Найти
предел
.
Решение:
Так
как
,
то
=
=
=
=
.