![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 8. Дифференциальные уравнения
- •§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
- •§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •Глава 9. Ряды.
- •Разложение функций в степенные ряды.
- •Глава 10. Теория вероятностей
- •§ 1. Некоторые способы подсчета числа исходов опыта
- •1. Принцип произведения
§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейное
однородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными
коэффициентами
имеет общее решение
,
где
и
линейно-независимые частные решения
этого уравнения.
Общий вид решений
однородного дифференциального уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами
,
зависит от корней характеристического
уравнения
.
Корни характеристического уравнения |
Вид общего решения |
Корни
|
|
Корни
действительные и одинаковые |
|
Корни
комплексные
|
|
Пример
Найти общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:
1)
Решение: Составим
характеристическое уравнение:
.
Решив его, найдем
корни
,
действительные и различные. Следовательно,
общее решение имеет вид:
.
2)
Решение: Составим
характеристическое уравнение:
.
Решив его, найдем
корни
действительные и одинаковые. Следовательно,
общее решение имеет вид:
.
3)
Решение: Составим
характеристическое уравнение:
.
Решив его, найдем
корни
комплексные. Следовательно, общее
решение имеет вид:
.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
,
где
. (1)
Общее решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения второго порядка
имеет вид
,
где
– частное решение этого уравнения,
– общее решение соответствующего
однородного уравнения, т.е. уравнения
.
Вид частного
решения
неоднородного уравнения (1) в зависимости
от правой части
:
Правая
часть
|
Частное
решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим различные
виды правых частей линейного неоднородного
дифференциального уравнения
:
1.
Пусть правая часть имеет вид
,
где
– многочлен степени
.
Тогда частное решение
можно искать в виде
,
где
– многочлен той же степени, что и
,
а
– число корней характеристического
уравнения, равных нулю.
Пример
Найти общее решение
.
Решение:
А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения
.
Для этого запишем характеристическое
уравнение
.
Найдем корни последнего уравнения
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид
.
Б) Так как правая
часть уравнения является многочленом
первой степени и ни один из корней
характеристического уравнения
не равен нулю (
),
то частное решение ищем в виде
,
где
и
– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя
дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях равенства
,
,
находим
,
.
Итак, частное решение данного уравнения
имеет вид
,
а его общее решение
.
2.
Пусть правая часть имеет вид
,
где
– многочлен степени
.
Тогда частное решение
можно искать в виде
,
где
– многочлен той же степени, что и
,
а
– число, показывающее, сколько раз
является корнем характеристического
уравнения.
Пример
Найти общее решение
.
Решение:
А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения
.
Для этого запишем характеристическое
уравнение
.
Найдем корни последнего уравнения
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид
.
Б) Так как правая
часть уравнения есть функция
,
то контрольное число данного уравнения
,
оно не совпадает с корнями
характеристического уравнения
.
Тогда частное решение ищем в виде
,
где
– неизвестный коэффициент. Дифференцируя
дважды
и подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим
.
Откуда
,
то есть
или
.
Итак, частное
решение данного уравнения имеет вид
,
а его общее решение
.
3.
Пусть правая часть имеет вид
,
где
и
– данные числа. Тогда частное решение
можно искать в виде
,
где
и
– неизвестные коэффициенты, а
– число, равное числу корней
характеристического уравнения,
совпадающих с
.
Если в выражение функции
входит хотя бы одна из функций
или
,
то в
надо всегда вводитьобе
функции.
Пример
Найти общее решение
.
Решение:
А) Найдем общее
решение соответствующего однородного
уравнения
.
Для этого запишем характеристическое
уравнение
.
Найдем корни последнего уравнения
.
Следовательно, общее решение однородного
уравнения имеет вид
.
Б) Так как правая
часть уравнения есть функция
,
то контрольное число данного уравнения
,
оно не совпадает с корнями
характеристического уравнения
.
Тогда частное решение ищем в виде
,
где
и
– неизвестные коэффициенты. Дифференцируя
дважды
,
получим
и
.
Подставляя
,
и
в исходное уравнение, находим
.
Приводя подобные слагаемые, получим
.
Приравниваем
коэффициенты при
и
в правой и левой частях уравнения
соответственно. Получаем систему
.
Решая ее, находим
,
.
Итак, частное
решение исходного дифференциального
уравнения имеет вид
.
Общее решение
исходного дифференциального уравнения
имеет вид
.