- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ПРОЦЕНТНЫЕ ДЕНЬГИ
- •1.1 ПРОЦЕНТЫ
- •1.2 ПРОСТОЙ ПРОЦЕНТ
- •УПРАЖНЕНИЯ 1
- •1.3 ВРЕМЯ МЕЖДУ ДАТАМИ. ОФОРМЛЕНИЕ ВЕКСЕЛЕЙ
- •1.4 ПРОСТОЙ ДИСКОНТ
- •УПРАЖНЕНИЯ 1.2
- •Глава 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
- •2.1 СОСТАВНОЙ ИТОГ И СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ
- •2.2 ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •2.3 ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА СОСТАВНОГО ИТОГА
- •2.4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СОСТАВНОГО ИТОГА
- •2.5 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И СЛОЖНЫЙ ДИСКОНТ
- •2.6 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ
- •2.7 СОСТАВНОЙ ИТОГ И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ДЛЯ ДРОБНЫХ ПЕРИОДОВ ВРЕМЕНИ
- •УПРАЖНЕНИЯ 2
- •Глава 3 УРАВНЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
- •3.1 ДАТИРОВАННЫЕ СУММЫ
- •3.2 СЕРИИ ДАТИРОВАННЫХ СУММ
- •3.3 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЕРИИ ПЛАТЕЖЕЙ
- •УПРАЖНЕНИЯ 3
- •Глава 4 ПРОСТЫЕ АННУИТЕТЫ
- •4.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •4.2 НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ И ИТОГОВАЯ СУММА ОБЫКНОВЕННОГО АННУИТЕТА
- •4.3 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ
- •4.4 ОТСРОЧЕННЫЕ АННУИТЕТЫ
- •4.5 ТОЖДЕСТВА, СВЯЗЫВАЮЩИЕ НАКОПЛЕНИЯ И АННУИТЕТЫ
- •УПРАЖНЕНИЯ 4.1
- •4.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛАТЕЖЕЙ АННУИТЕТА
- •4.7 АННУИТЕТЫ С НЕИЗВЕСТНЫМИ СРОКАМИ
- •4.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
- •УПРАЖНЕНИЯ 4.2
- •Глава 5 ОБЫКНОВЕННЫЕ ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
- •5.1 ВВЕДЕНИЕ
- •5.3 ИТОГОВАЯ СУММА И НАСТОЯЩАЯ СТОИМОСТЬ ОБЫКНОВЕННОГО ОБЩЕГО АННУИТЕТА
- •5.4 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЫХ АННУИТЕТОВ В ОБЩИЕ
- •5.5 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ДЛЯ ОБЩЕГО АННУИТЕТА
- •5.6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ОБЩЕГО АННУИТЕТА
- •УПРАЖНЕНИЯ 5
- •Глава 7 ВЕЧНАЯ РЕНТА
- •7.1 ОБЫКНОВЕННАЯ ПРОСТАЯ И ОБЩАЯ ВЕЧНЫЕ РЕНТЫ
- •7.2 ПОЛАГАЮЩИЕСЯ РЕНТЫ
- •7.3 ДРУГОЙ ПОДХОД К АНАЛИЗУ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
- •7.4 КАПИТАЛИЗАЦИЯ
- •7.5 СРАВНЕНИЕ АКТИВОВ НА ОСНОВЕ ИНВЕСТИЦИОННОЙ СТОИМОСТИ
- •7.6 СРАВНЕНИЕ АКТИВОВ НА ОСНОВЕ СТОИМОСТИ ПРОДУКЦИИ
- •УПРАЖНЕНИЯ 7
- •Глава 8 ОБЛИГАЦИИ
- •8.1 ВВЕДЕНИЕ
- •8.2 ИНВЕСТИЦИОННАЯ НОРМА
- •8.3 ПОКУПНАЯ ЦЕНА ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ЗАДАННОЙ НОРМЫ ИНВЕСТИЦИИ
- •8.4 АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПОКУПНОЙ ЦЕНЫ
- •8.5 ОЦЕНИВАНИЕ ОБЛИГАЦИЙ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
- •8.6 РАСПИСАНИЯ ОБЛИГАЦИЙ
- •8.7 ПРИОБРЕТЕНИЕ ОБЛИГАЦИЙ НА РЫНКЕ
- •8.8 ЦЕНА ОБЛИГАЦИИ МЕЖДУ ДАТАМИ НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТОВ
- •8.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОРМЫ ДОХОДНОСТИ
- •8.10 ТАБЛИЦЫ ОБЛИГАЦИЙ
- •8.11 ДРУГИЕ ВИДЫ ОБЛИГАЦИЙ
- •Глава 9 ОБЕСЦЕНИВАНИЕ
- •9.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •9.2 ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД ИЛИ МЕТОД СРЕДНИХ
- •9.3 МЕТОД ПОГАСИТЕЛЬНОГО ФОНДА
- •9.4 МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ДО ЦЕЛОГО
- •9.5 МЕТОД ПОСТОЯННЫХ ПРОЦЕНТОВ
- •9.6 ГОДОВАЯ ВЕЛИЧИНА ОБЕСЦЕНИВАНИЯ И ПРОЦЕНТОВ
- •9.7 ИСТОЩЕНИЕ
- •УПРАЖНЕНИЯ 9
- •Глава 10 ОБЩИЕ АННУИТЕТЫ
- •10.1 ОБЩИЕ ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ
- •10.2 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
- •10.3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПЛАТЕЖЕЙ И ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА
- •10.4 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОБЩЕЙ ТЕОРЕМЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
- •10.5 ДРУГИЕ ВИДЫ АННУИТЕТОВ
- •УПРАЖНЕНИЯ 10
- •Глава 11 АКЦИИ
- •11.1.ВИДЫ АКЦИЙ
- •11.2 ТОРГОВЛЯ АКЦИЯМИ
- •11.3 ОЦЕНИВАНИЕ АКЦИЙ
- •11.4 ЦЕНЫ И ДОХОДНОСТИ
- •11.5 ФОРМУЛА МЭЙКХЭМА
- •УПРАЖНЕНИЯ
- •ПРИЛОЖЕНИЕ
- •1. ОПИСАНИЕ «ТАБЛИЦ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ»
- •2. ТАБЛИЦА ПОРЯДКОВЫХ НОМЕРОВ ДНЕЙ ГОДА
4.9 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Когда неизвестна процентная ставка i , но заданы R , n и A ( или S ) , мы вновь обращаемся к формуле (3)
A = R a п i = R (1 - (1 + i) -п)/i ,
которая может рассматриваться как уравнение относительно процентной ставки i . Оно может быть преобразовано к виду
(A/R)(1 + i) п+1 - (1 + A/R)(1 + i) п + 1 = 0
Такое уравнение относится к классу нелинейных алгебраических уравнений и его решение в общем случае не выражается в явной аналитической форме, так что его решение может быть осуществлено только численными методами.
Вместе с тем, используя метод линейной интерполяции, можно достаточно просто находить приближенные решения этого уравнения. Продемонстрируем это на примерах.
ПРИМЕР 1 Петров вкладывал в сберегательный банк по 25 тыс рб в конце каждого месяца в течение 5 лет. В настоящее время у него на счете накопилось 1625 тыс рб. С какой номинальной нормой процента для m = 12 начисляет проценты сберегательный банк ?
РЕШЕНИЕ |
Обозначим через i |
месячную норму процента и через j12 |
||||||||||
- соответствующую номинальную норму. Вклады |
|
по 25000 рб образуют |
||||||||||
аннуитет с |
итоговой |
|
суммой |
|
1625000 |
|
|
рб как |
показано на |
|||
нижеследующей временной диаграмме |
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
1 |
|
2 |
|
3 |
... |
58 |
|
59 |
60 |
||
|
25т |
25т |
25т |
... |
25т |
|
25т |
25т |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1625т |
Уравнение аннуитета имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
25 s |
|
|
i = 1625 |
|
так что s |
|
|
i = 65 |
|
||
|
6 0 |
|
|
6 0 |
|
|
61
На основе таблицы для функции составных платежей s п i составим следующую табличку
s |
|
|
i |
65,46611 |
65,00000 |
64,64671 |
6 0 |
|
|||||
|
i |
7/24 % |
? |
1/24 % |
||
|
j12 |
7/2 % |
? |
3 % |
Составляем пропорцию линейной интерполяции
j12 0,03 65,00000 64,64671 0,35329 0,035 0,03 65,46671 64,64671 0,81940 .
Откуда получаем j12 = 0.03216 .
ПРИМЕР 2 Фирма продает товар стоимостью 100 млн рб по следующему платежному расписанию : 10 млн рб сразу и 10 ежемесячных взносов по 9&55 млн рб каждый, первый взнос делается через три месяца. Какую номинальную норму для m = 12 предусматривает такое расписание ?
РЕШЕНИЕ 10 ежемесячных платежей образуют отсроченный аннуитет с текущей стоимостью 90 млн рб на день покупки как показано на временной диаграмме
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
... 11 |
12 |
9.55 9.55 ... 9.55 9.55
90
Уравнение аннуитета имеет вид
90 = 9,55 ( a 1 2 |
|
i - a |
|
|
i ) |
так что |
a 1 2 |
|
i - a |
|
|
i = 9,4241 . |
|
2 |
|
|
2 |
|
Вновь обращаясь к таблицам функций составных платежей, составляем вспомогательную табличку
|
|
j12 |
9 % |
? |
10.5 % |
|||
|
|
i |
3/4 % |
? |
7/8 % |
|||
a 1 2 |
|
i - a |
|
|
i |
9.4572 |
9.4241 |
9.3704 |
|
2 |
|
62
Пропорция линейной интерполяции имеет вид
|
|
j12 0,09 |
9,4241 9,4572 |
0,0331 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
0,105 0,09 |
9,3704 9,4572 |
0,0868 |
|
||||
Следовательно, j12 = 0.0957 . |
|
|
|
|
|
|
|||
Применяя |
приближенные |
методы |
интерполяции, |
следует |
представлять точность этих приближений. Приведем некоторые данные, касающиеся ошибок при определении нормы процента с использованием
интерполяции по таблицам функций составных платежей. |
Когда |
i |
|||||||
получается по |
таблицам a |
|
|
i , результат немного завышается; когда |
|||||
п |
|
||||||||
используются |
таблицы s |
|
|
i , |
результат немного меньше |
истинного. |
|||
п |
|
Ошибка зависит сильнее от разности между двумя соседними значениями нормы процента в таблице и гораздо слабее - от величины n . Анализ ошибок для всех значений параметров таблиц показывает, что ошибка редко превосходит величину
(n/10)( разность норм процента ) 2 .
Эта величина для расчета i в примере 1 равна
(60/10)( 0,07/24 - 0,01/4 ) = 0,00000104 .
и для j12 составляет 0,0000125 . Для примера 2 расчет j12 с точностью до шестого знака дает 0,095719 .
УПРАЖНЕНИЯ 4.2
1.Какие ежеквартальные взносы должны делаться в сберегательный банк, выплачивающий j4 = 3% , для того, чтобы накопить 50 млн рб за 5 лет?
2.Найти годовые платежи аннуитета, чья итоговая сумма равна 25 млн рб, если срок равен 10 лет и процентная ставка j1 = 5% .
3.Какие одинаковые платежи в конце каждого квартала в течение 20 лет обеспечили бы приобретение дома, который стоит 200 млн рб наличными, если процентная ставка j4 = 5% ?
4.Автомобиль стоит 35 млн рб наличными, но может быть куплен за 6 млн рб наличными и остаток в виде ежемесячных платежей в течение 3 лет.
63