- •Глава 1. Линейные системы и матрицы.
- •§2. Системы линейных уравнений.
- •Элементарные преобразования строк матрицы:
- •§3. Метод Гаусса. Метод Жордана.
- •§4. Действия над матрицами.
- •§5. Обратная матрица.
- •§6. Балансовая модель.
- •§7. Свойства определителей.
- •§8. Формулы Крамера.
- •Глава 3. Функции. Пределы. Непрерывность.
- •§1. Множества. Логическая символика.
- •§2. Функции вещественной переменной.
- •§3. Предел последовательности вещественных чисел.
- •§3. Предел последовательности вещественных чисел.
- •§4. Предел функции.
- •Глава 4. Дифференцирование функций одной переменной.
- •§1. Определение производной.
- •§2. Правила дифференцирования.
- •§7. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.
- •§8. Формула Тейлора.
- •§5. Непрерывные функции. Теоремы Коши и Вейерштрасса.
- •§6. Вычисление пределов. Практические советы.
- •При X предел отношения степенных функций зависит от старших степеней, приx 0 от младших.
- •Глава 5. Исследование функций и построение графиков.
- •§1. Возрастание и убывание функции. Экстремум.
- •Достаточное условие экстремума.
- •§2. Направление выпуклости. Точки перегиба.
- •Достаточное условие перегиба.
- •§3. Асимптоты.
- •§4. Общий порядок построения графика.
- •§5. Численное решение уравнений. Метод Ньютона.
- •Глава 6. Комплексные числа.
- •§1. Действия над комплексными числами.
- •§2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •§3. Формулы Эйлера и Муавра.
- •При делении …
- •§4. Извлечение корня из комплексного числа.
- •§5. Решение алгебраических уравнений.
- •Глава 7. Вычисление неопределенных интегралов.
- •Как строятся «экономические кривые»?
- •§9. Двойной интеграл.
- •§10. Приложения двойных интегралов. Геометрические приложения
- •Механические приложения
- •§11. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •§12. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •§13. Понятие системы дифференциальных уравнений.
Глава 1. Линейные системы и матрицы.
§1. n – мерное пространство Rn
Вещественные числа (СПб) = действительные числа (М).
x1, x2, …, xn – n-мерная точка M( x1, x2, …, xn ).
Расстояние между M( x1, x2, …, xn ) и N( y1, y2, …, yn )
Вектор
– радиус-вектор точки М.
Окрестность точки, ограниченное множество, замкнутое или открытое множество, предел последовательности n-мерных точек. Скалярное произведение.
Геометрически R1 – прямая, R2 – плоскость, R3 – пространство.
Множество наз.выпуклым, если
Свойство. V1, V2 – выпуклы выпукло.
§2. Системы линейных уравнений.
x1, x2, …, xn
а1x1 +а2x2 +…+аn xn = b
k1, k2, …, kn
x1 = k1, x2 = k2,…, xn = kn
Матрица системы столбец правых частей
размер m x n размерm x 1
Расширенная матрица системы размерm x (n+1)
Элементарные преобразования строк матрицы:
смена местами двух строк
умножение элементов строки на число
прибавление к элементам одной строки чисел, пропорциональных элементам другой строки
Преобразования обратимы. Система переходит в равносильную.
Если получается строка расширенной матрицы, состоящая из нулей – ее вычеркивают.
§3. Метод Гаусса. Метод Жордана.
п р я м о й х о д
о б р а т н ы й х о д
b |
x1 |
x2 |
x3 |
Решение системы методом Жордана ( Жордана-Гаусса ) |
-1 |
1 |
1 |
2 |
а11=1 – ключевой элемент: х1 исключается с помощью 1-го уравнения |
4 |
1 |
-2 |
-2 |
из 2-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1 |
-2 |
1 |
4 |
4 |
из 3-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1 |
-1 |
1 |
1 |
2 |
ключевая строка делится на ключевой элемент |
5 |
0 |
-3 |
-4 |
а22= -3 – ключевой элемент: х2 исключается с помощью 2-го уравнения |
-1 |
0 |
3 |
2 |
|
2/3 |
1 |
0 |
2/3 |
из 1-й строки вычли измененную 2-ю (деленную на -3) |
-5/3 |
0 |
1 |
4/3 |
ключевая строка делится на ключевой элемент (на -3) |
4 |
0 |
0 |
-2 |
из 3-й строки вычли измененную 2-ю, умноженную на 3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
из 1-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 2/3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
из 2-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 4/3 |
-2 |
0 |
0 |
1 |
ключевая строка делится на ключевой элемент (на -2) |
Бывают системы, не имеющие решений (несовместные), имеющие ровно 1 решение (см. пример) и имеющие бесконечное число решений.
несовместная имеет множество решений
§4. Действия над матрицами.
Сложение матриц
С=А+В, когда cij = aij + bij. Матрицы одного размера.
A+B=B+A, ,, (A+B)+C=A+(B+C)
Умножение матрицы на число
В=k.А, когда bij = k.aij Получается матрица того же размера.
(km)A=k(mA), 1.A=A, 0.A=. (k+m)A=kA+mA, k(A+B)=kA+kB
Умножение матрицы на матрицу.
Правило: «строка 1-й матрицы на столбец 2-й матрицы по формуле скалярного произведения». Число столбцов 1-й матрицы должно быть равно числу строк 2-й.
А . В = С
mxnnxpmxpскалярное произведение
Свойства.1. (АВ)С=А(ВС) 2. Em, En: Em.A = A, A . En=A(единичные)
3. 4. Если, то не обязательноили
5. даже для квадратных матриц 6. А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС
к(АВ)=(кА)В=А(кВ)
Транспонирование матриц– смена местами строк и столбцов.
Свойства.1. (АТ)Т=А 2. (А+В)Т=АТ+ВТ3. (кА)Т=кАТ4. (А.В)Т=ВТ.АТ