6. Функции действительных переменных

Цель работы состоит в освоении технологий решения типовых задач по теме "Функции действительных переменных".

Key words: Set (=), SetDelyed (:=), Tag SetDelyed (/:  :=), Piecewise, Condition, Module, Limit, D (), Integrate (), Logical Operators (And, Or, ...), Boole.

Возможные пути к ресурсам из окна Documentation Center:

1) Core Language Defining Variables and Functions;

2) Core Language Procedural Programming Conditionals;

3) Mathematics and Algorithms Mathematical Functions;

4) Mathematics and Algorithms Calculus;

5) Mathematics and Algorithms Logic & Boolean Algebra.

Справка. В математической теории широко известны слова "соответствие", "отображение", "преобразование", "функция", используемые для обозначения базовых понятий. Функция, как и отображение, осуществляет однозначное соответствие , т. е. по некомуправилу преобразует один объект в другой объект(однозначно определяемый). Термин "функция" употребляют обычно в тех случаях, когда пробный объект для замещения переменнойимеет числовую основу, т. е. представляет собой число или числовой множественный объект определенной категории (арифметический вектор, числовая матрица, тензор, и т. п.).

В системе Mathematica термин "функция" обретает более конкретное толкование, связанное с описанием правил преобразований на языке программирования. Преобразования рассматриваются как вычисления. Всякая функция действует как модуль, преобразующий входные данные в выходные данные. Функция может иметь собственное имя. Различают встроенные функции и пользовательские функции. Каждая встроенная функция имеет свое уникальное имя. Чтобы получить полный перечень имен всех встроенных функций, следует воспользоваться навигатором функций (Function Navigator). Навигатор открывается кнопкой F[...] в окне Documentation Center. По гипер-ссылке на имени выбранной функции можно перейти на страницу этой функции, чтобы узнать выполняемые действия, правила оформления, примеры применения, и прочие подробности. Если имя встроенной функции известно, то для перехода на ее страницу можно воспользоваться строкой поиски SEARCH.

Cистема Mathematica предоставляет широкий выбор возможностей и средств для создания пользовательских функций. Ниже рассматривается только небольшая часть из них. Функция пользователя может иметь свое имя. Кроме того, функция пользователя может оперировать с именами введенных переменных. Переменная с именем остается вакантной (или свободной), пока не состоится замещение этой переменной каким-либо значением (числовым или символьным выражением).

Выражения как функции по умолчанию. Всякое выражение (с именем или без имени) может рассматриваться пользователем как функция от тех или иных вакантных переменных.

Целые именованные функции. Нередко возникает необходимость описать входное устройство той или иной пользовательской функции с именем. С этой целью используют паттерны. (Pattern - это шаблон, схема, образец.) Фактически паттерны позволяют выделить независимые переменные определяемой функции. Пусть функция вводится единым выражением. Примеры задания функции данным способом:

Примеры обращения к функции:

Кусочные именованные функции. Сборка пользовательской функции может быть выполнена по кускам с использованием нескольких различных выражений. При этом имеется разбиение области определения функции на непересекающиеся компоненты. Для каждой из этих компонент функция определяется отдельным выражением. Например, пусть требуется ввести функцию:

Один из многих способов задания таких функций связан с конструкцией на основе Piecewise. Комбинируя с предыдущими примерами, можно в итоге написать:

Процедуры как функции. Во многих случаях вычисления значений функции реализуются в виде алгоритма (т. е. телом функции служит некий алгоритм). В таких случаях целесообразно использовать конструкцию на основе Module. Например, пусть требуется ввести сложную функцию вида , где- этонеявная функция, определяемая как наибольшее решение уравнения . С этой целью можно предложить вариант программного модуля: