шпоры
.doc
1. Системы линейных уравнений. x1, x2, …, xn а1x1 +а2x2 +…+аn xn = b k1, k2, …, kn x1 = k1, x2 = k2,…, xn = kn
Матрица системы столбец правых частей размер m x n размер m x 1 Расширенная матрица системы размер m x (n+1) Элементарные преобразования строк матрицы:
Преобразования обратимы. Система переходит в равносильную. Если получается строка расширенной матрицы, состоящая из нулей – ее вычеркивают.
|
2. Метод Гаусса. Метод Жордана.
п р я м о й х о д
о б р а т н ы й х о д Бывают системы, не имеющие решений (несовместные), имеющие ровно 1 решение (см. пример) и имеющие бесконечное число решений.
несовместная имеет множество решений
|
3 Действия над матрицами.
С=А+В, когда cij = aij + bij. Матрицы одного размера. A+B=B+A, , , (A+B)+C=A+(B+C)
В=k.А, когда bij = k.aij Получается матрица того же размера. (km)A=k(mA), 1.A=A, 0.A=. (k+m)A=kA+mA, k(A+B)=kA+kB
Правило: «строка 1-й матрицы на столбец 2-й матрицы по формуле скалярного произведения». Число столбцов 1-й матрицы должно быть равно числу строк 2-й. А . В = С mxn nxp mxp скалярное произведение
Свойства. 1. (АВ)С=А(ВС) 2. Em, En: Em.A = A, A . En = A (единичные) 3. 4. Если , то не обязательно или 5. даже для квадратных матриц 6. А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС
Транспонирование матриц – смена местами строк и столбцов.Свойства. 1. (АТ)Т=А 2. (А+В)Т=АТ+ВТ 3. (кА)Т=кАТ 4. (А.В)Т=ВТ.АТ
|
4 Обратная матрица. А.В=В.А Теорема. Пусть А,В,С – квадратные матрицы, причем А.В = Е, С.А = Е. Тогда В = С. В = Е.В = (С.А).В = С.(А.В) = С.Е = С Обратная матрица единственна и обозначается А-1 А.А-1 = А-1 .А = Е Матричная запись системы А.Х = В Теорема. Если А – квадратная матрица, имеющая обратную А-1,то линейная система АХ=В имеет единственное решение при любых правых частях ( любом векторе В ) Х=А-1 .В Опр. Если , то система называется однородной. Свойство. Однородная система всегда совместна, ее тривиальное решение .
|
|
5.балансовая модель - валовая продукция, - конечная продукция, - внутренние затраты, которые зависят от валовой продукции линейно: z1=a11x1+a12x2+…+a1nxn и т.д. Система уравнений материального баланса имеет вид Х – АХ = У балансовая модель Леонтьева - затраты продукции i-й отрасли на изготовление единицы валовой продукции j-й отрасли, коэффициенты прямых затрат – постоянные. ( Е – А )Х = У Продуктивная матрица: Х = ( Е – А )-1У = SУ, S – матрица полных затрат
|
6. Свойства определителей. Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу. Для матрицы 1-го порядка определитель Система сводится к
Для матрицы 3-го порядка определитель = = а11.а22.а33 + а12.а23.а31 + а13.а21.а32 – а13.а22.а31 – а12.а21.а33 – а11.а23.а32 Всевозможные произведения чисел из разных строк и столбцов.Если из матрицы вычеркнуть строки и столбцы так, что останется квадратная матрица, то ее определител.называется минором. - минор, получающийся вычеркиванием i–й строки j–го столбца квадратной матрицы разложение определителя по 1-й строке.Алгебраическое дополнение ( квадратной матрицы ) detA = a11 . A11 + a12 . A12 + …+ a1n . A1n Свойства. 1. Независимость строк и столбцов
Следствия. 1. Если два столбца ( строки ) определителя совпадают, то он равен нулю.
Понижение порядка. Если в строке определителя все элементы, кроме одного, равны нулю, то при разложении по этой строке получается определитель меньшего ( на 1 ) порядка. Если ранг матрицы системы линейных уравнений меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.
|
||
---|---|---|---|---|
|
|
|
7. Формулы Крамера. Теорема 1. Теорема 2. Присоединенная (взаимная, союзная) матрица – из алгебраических дополнений транспонированная:
a11 . A11+a12 . A12+ …+a1n . A1n = , a21 . A11+ a22 . A12+ …+ a2n . A1n = = 0 Если , то , отсюда - формула вычисления А1, подставляем в формулу из §5 Х=А1 .В= =b1A11 +b2A21+… bnAn1= =b1A12 +b2A22 +…+bnAn2 = и т.д. – это числа из предыдущей матрицы. , то есть , , …, это и есть формулы Крамера.
|
8. Множества. Логическая символика.
аА аА АВ аА аВ А = В, если АВ и ВА 1) А = а1,а2,…ак перечисление элементов 2) А = хТ(х) с помощью свойства (формулы) АВ = ххА или хВ АВ = ххА и хВ А \ В = ххА, хВ
, утверждения. отрицание. импликация. эквивалентность. конъюнкция. дизъюнкция. хХ х квантор всеобщности хХ х квантор существования хХ х Операции над множествами Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .
Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или множество А является подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: А и А А . Сумма ( объединение ) множеств А и В ( пишется А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А , либо е В . Произведение ( пересечение ) множеств А и В ( пишется А В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда е А и е В . Разность множеств А и В ( пишется А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В.Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А. Симметричная разность множеств А и В ( пишется А \ В ) есть множество:
А \ В = ( А – В ) ( В – А ).Свойства операций над множествами:
|
9. Функции вещественной переменной. D R x D f ( x ) E = yRy = f ( x ), x D f : D E y = f ( x )
f : D E x1,x2D x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) yE xD : f ( x ) = y f-1 : E D x = f-1 ( y ) обратная функция
f : X Y, g : Y Z. Композиция ( сложная функция) h = g f : X Z h ( x ) = g ( f ( x ))
Элементарные функции. 1. y = xa, a R. 2. y = ax, a > 0, a 1. 3. y = logax, a > 0, a 1. 4. y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x. 5. y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
x, y ) R2 x D, y = f ( x ) 11. Предел функции.
Пусть функция определена на множестве D. Число а называется пределом функции в точке x0 (), если такое, что .
«Замечательные» пределы: 1.
Свойства: Если , то
|
10. Предел последовательности вещественных чисел. Последовательность f : N R f ( n ) = xn– n-й член последовательности xn nN Число а называется пределом последовательности xn nN ( = a ), если >0 N: n> N xn a < Сходящаяся последовательность Геом. смысл. Вне интервала ( а , а + ) может находиться лишь конечное число xn Свойства. Если = a, = b, то 1. = a b 2. = a.b
Последовательность:
Число а называется пределом последовательности , то есть , если : . Сходящаяся последовательность. Геометрический смысл: Вне интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности. Свойства: Если , то - бесконечно малая, если .бесконечно большая, если .Число - основание натурального логарифма. Теорема 1 ( о сжатой последовательности).Если и , то … называется ограниченной, если Теорема 2.Если - ограничена и не убывает (т.е. ), то .Следствие:Если - ограничена и не возрастает (т.е. ), то .Теорема3Если, то - ограничена.
|