![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •35.Дифференциальные уравнения: основные понятия и определения.
- •36.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •38.Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.
- •40.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •37.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Метод подстановки.
40.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Опр.
Линейн.ОУ диф-ные ур-я 2 порядка, с
пост.коэф.наз-я ур-е вида
−во:т.к.
:
1.f(x)=
(x)-многочлен
в степени n.
Тогда частное реш-е ур-я : 1.
Билет 32.Сведение двойного интеграла к повторному.
Т1:
Пусть ф-ции f(x.y)
инт-ма в прямоуг. Области
D={(x,y}|ax
b,c
y
d},причем
х
тогда ∃
интеграл
.
Случай
криволинейной области. Т2:
Пусть ф-ция
инт-ма в криволин. Обл.
G={(x,y}|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)},
где φ1(x)≤φ2(x)
[a;b],причем
[a;b]
сущ-ет инт-л:
I(x)==
Билет 33.Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть
ф-ция Z=
f(x,y)
инт-ма в некотор. Области G
к точкам x=x(u,v),
y=y(u,v)-
ф-ция определена на некотор области
непрерывной и диф-ма во всех точках
данной области.
якобиан
матрицы,причем
.
Х=x(u,v),y=y(u,v):
)=G
Билет 34.Геометрические приложения двойного интеграла. 1.Площадь плоской фигуры
Пусть
плоская фигура огранич.кусочно-гладкой
кривой, тогда S
фигуры вычисл-ся: S=
2.V тела.
Пусть
f(x,y)-
ф-ция определена на огранич.области G,
непрерывна и неотрицательна во всех
точках данной области, тогда Vтела,
огранич.сверху ф-цией f(x,y),
а снизу z=0,
вычисл. По ф-ле: V=
37.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Метод подстановки.
Опр:Ур-е
вида y’+p(x)=f(x)
(1), где p(x)
и f(x)-
непрерыв.ф-ции,наз-ся линейн.диф-ное
ур-е 1-го порядка. Если f(x),
то (1)-наз. Однородное линейное ур-е, если
же f(x)≠0,
то (1)-неоднород.линейн. ур-е
Методы реш-й:
1. Метод вариации произвольной постоянной
а)Рассм. Соот-щее ур-ю (1) однородное лин.ур-е
y’+p(x)y=0;
ln|y|=
y=
б)
Рассм. Вместо const
неизв. Ф-цию z(x)
=z(x);
y=z
z’-
=f(x)
y=(
2.Метод подстановки
Определим y=uv,где u,v- неизвестный ф-ции , найдем реш-е в виде произведения u*v
(uv)’+ p(x)uv=f(x) (2)
U’v+uv’+
p(x)uv=f(x);
U’v+u(v’+
p(x)v)=f(x).Потребуем,
чтобы содержимое скобки =0.
u’
=f(x);
Du=f(x)
Билет 25.Производные функции двух переменных. Дифференцируемость. Дифференциал функции.
производная
функции нескольких (двух, трех и больше)
переменных определяется как производная
функции одной из этих переменных при
условии постоянства значений остальных
независимых переменных. Поэтому частные
производные функции ƒ(х;у) находят по
формулам и правилам вычисления производных
функции одной переменной:
Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:
Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве представляет собой главную часть приращения функции.
Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:
dz=A*Δx+B*Δy.
Выражения А•Δх и В•Δу называют частными
дифференциалами. Для независимых
переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy.
Опр.
Пусть f(xy)
– диф-ма в нек.т М
- диф-ал ф-ции
и обоз-ся dz.
Dz=f’x(xy)
+f’y(xy)
.
Предположим z=x.
dz=dx=
.
z=y:
dz=dy=
=>
dz=f’x(xy)dx+d’y(xy)dy.
Билет 27.Производные сложных функций нескольких переменных.
Т.
Пусть ф-ции x=x(t)
и y=y(t)
– диф-мы в т.t,
а ф-ция z=f(xy)
– диф-ма в т М. Тогда слож.ф-ция f(x(t),y(t))
диф-ма в т.t,
причем
Билет 31. Двойные интегралы. Определение и существование двойного интеграла.
Пусть
G
– нек. Ограничен.и замкнут. обл. и f(xy)
– нек.ф-ция, опред-я в обл. G.
Разобьем обл g
на n
произвольных частей, не имеющих общих
внутр. Точек. Площади частей G1,G2,…Gn
обозначим
[Пусть G-нек.
Обл. Диаметром обл-ти наз-ся макс
расстояние м/д граничными точками облG
и обозн. d(G)]
на каждой части Gi
зафикс. Произвольн.образом точку (
Билет26. Необходимое условие дифти ф-ции 2хпеременных
Теорема. (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные, причем dz/dx = А, dz/dy = В.
Достат.условие диф-ти: Теор. Пусть ф-ция f(xy) имеет частн производ-е в нек окр-ти т М, причем дан производ непрерывны в М. Тогда f(xy) диф-ма в дан.точке.