3.ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

3.1Табличный процессор Excel

Смомента своего появления программа Microsoft Excel завоевала репутацию наиболее мощной и удобной электронной таблицы и в настоящее время занимает доминирующее положение на рынке офисных программных продуктов. Excel обладает большим многообразием функций: позволяет ставить численный эксперимент и подбирать оптимальные параметры, решать задачи моделирования, создавать базы данных и управлять ими, строить диаграммы и графики различного типа, форматировать и красочно оформлять файлы электронных таблиц, подготавливать и распечатывать итоговые документы. Такое многообразие возможностей позволяет использовать Excel не только для решения финансовых и бухгалтерских задач. Область ее применения сейчас намного шире: в научных и инженерных расчетах, в учебном процессе, административной и управленческой деятельности, в повседневной жизни.

Рабочее поле электронной таблицы состоит из строк и столбцов. По умолчанию количество строк равно 16384, столбцов - 256. Номер строки - определяет строку в электронной таблице. Буква столбца - определяет колонку в электронной таблице. Колонки нумеруются в следующем порядке: А - Z, затем

АА- АZ, затем ВА - ВZ и т. д. Каждое пересечение строки и столбца образует ячейку, в которую можно вводить данные (текст, число или формулы).

Каждая ячейка имеет уникальный адрес, состоящий из буквы столбца и номера строки, например В1 или С12. Блок представляет собой прямоугольную область смежных ячеек. Адрес блока состоит из координат противоположных углов, разделенных двоеточием. Например, В13:С19 или А12:D27. Выделенная на рабочем листе черной рамкой ячейка называется активной. Если начать ввод данных, то они появятся в активной ячейке.

Вячейки электронной таблицы Excel могут быть введены следующие типы данных: текст, число, дата-время и формула.

7

Текст - это набор любых символов. Числа в ячейку можно вводить со знаков =, +, - или без них. Для ввода дробных чисел используется десятичная запятая. В виде формулы может быть записано арифметическое выражение. Оно представляет собой последовательность чисел или ссылок на ячейки, объединенных знаками арифметических операций или функциями. Формула обязательно должна начинаться со знака =.

При обращении к ячейке можно использовать способы, описанные ранее, например В3, А1:G9 и т.д. Такая адресация называется относительной. Относительные ссылки определяют адреса ячеек по отношению к активной ячейке (например, ячейка на две строки выше данной). При использовании подобной адресации в формулах Excel запоминает расположение относительно текущей ячейки. Так, например, формулу =В1+В2 в ячейку В4 Excel интерпретирует как “прибавить содержимое ячейки, расположенной тремя рядами выше, к содержимому ячейки двумя рядами выше”. Если скопировать формулу =В1+В2 из ячейки В4 в С4, Excel так же проинтерпретирует формулу как “прибавить содержимое ячейки, расположенной тремя рядами выше, к содержимому ячейки двумя рядами выше”. Таким образом, формула в ячейке С4 изменит свой вид на

=С1+С2.

Иногда при копировании формул необходимо сохранить ссылку на конкретную ячейку или область. В этом случае необходимо воспользоваться абсолютной адресацией. Абсолютные ссылки задают адреса ячеек в соответствии с их положением на рабочем листе (например, ячейка, расположенная в столбце А на две строки выше активной). Для задания абсолютной ссылки необходимо перед буквой колонки и пред номером ряда напечатать символ $. Например: $B$4 или $С$2:$F$48 и т.д.

Основным средством для анализа данных является формула. Формулы в Excel подчиняются определенному синтаксису, в который входит знак равенства, вычисляемые элементы (операнды) и операторы. Операндами могут быть: константы, ссылки или диапазоны ссылок, заголовки, имена или функции. В следующем примере представлена формула, вычисляющая разность между

8

числами 5 и 1: =5-1. Результат выполнения отобразится в ячейке, в которой указана формула. Следующая формула =5+2*3 возвращает число 11, так как умножение имеет больший приоритет над сложением и, поэтому, выполняется в первую очередь: сначала происходит умножение 2 на 3, а затем полученное значение складывается с 5. Для изменения приоритета можно воспользоваться скобками. Нпример: =(5+2)*3. Сначала произойдет сложение 5 и 2, а затем умножение полученного результата на 3. Формула вернет число 21.

В формуле может быть указана ссылка на ячейку. Если необходимо, чтобы в ячейке содержалось значение другой ячейки, введите знак равенства, после которого укажите ссылку на эту ячейку. Формула может вернуть другое значение, если изменить ячейку, на которую формула ссылается. Следующая формула умножает значение ячейки B15 на число 5: =B15*5. Формула будет пересчитываться при изменении значения ячейки B15.

Формулы также могут ссылаться на диапазоны ячеек (блоки). В этом случае, как правило, формула содержит функцию. Наиболее распространенной является функция СУММ, суммирующая диапазоны ячеек. Например,

СУММ(A1:A10).

Формулы могут ссылаться на ячейки текущего листа, листов той же книги или других книг. В следующем примере (рис. 1) складывается значение ячейки B4 с числом 25. Полученный результат делится на сумму ячеек D5, E5 и

F5.

Рис. 1. Элементы формулы

Функции предназначены для упрощения расчетов и имеют следующую форму: y=f(x), где y – результат вычисления функции, x – аргумент, f – функ-

9

ция, например, sin(A5). Аргументом функции может быть число, текст, ссылка на ячейку. Скобки - обязательная принадлежность функции, даже если у нее нет аргументов.

Основные категории функций:

•математические;

•математика и тригонометрия;

•статистические;

•ссылки и массивы;

•работа с базой данных;

•текстовые;

•логические;

•инженерные;

•финансовые;

•даты и времени.

Excel позволяет превращать абстрактные строки и столбцы чисел в при-

влекательные информативные графики и диаграммы. Excel поддерживает 14 типов различных двух- и трёхмерных диаграмм. При изменении данных, на основе которых были построены диаграммы, они автоматически перерисовываются.

Пакет Excel предоставляет пользователю мощные средства анализа «Чтоесли». Он дает возможность решать различные классы оптимизационных задач.

Подбор параметра - одно из средств Excel, позволяющий проводить анализ данных и осуществлять прогнозирование. Подбор параметра – одно из средств Excel для так называемого «Что-если» анализа. В данном случае целевая функция (формула) может зависеть от нескольких параметров, однако изменять можно лишь один из них. При подборе параметра значение влияющей ячейки (параметра) изменяется до тех пор, пока целевая функция не примет заданного значения. При этом значения ячеек параметров изменяются так, чтобы величина в целевой ячейке стала равной определенному, наперед заданному значению.

10

В отличие от средства Подбор параметра, которое позволяет достичь заданного значения подбором величины в единственной ячейке, средство Поиск решения позволяет получить требуемый результат изменением значений нескольких ячеек. Кроме того, могут быть наложены ограничения на изменяемые параметры, что позволяет находить оптимальное решение задач с несколькими переменными и ограничениями.

Пакет Excel предоставляет возможность работы с базами данных: проводить сортировку и фильтрацию данных.

3.2.Численные методы решения нелинейного уравнения

содним неизвестным

Дано уравнение F(x)=0. Это - общий вид нелинейного уравнения с одним неизвестным. Решить уравнение означает найти его корни, то есть такие значения аргумента x, которые при подстановке превращают уравнение в тождество. Далеко не все уравнения решаются аналитически. Например, квадратное уравнение типа ax2 + bx + c = 0 легко решается аналитически и имеет два корня:

случае не имеет аналитического решения. Еще сложнее обстоит дело с уравне-

ниями типа eax +sin bx + xn = 0 . В общем случае, если нелинейное уравнение не решается аналитическими методами, целесообразно применение численных методов с использованием ЭВМ.

При использовании численных методов, как правило, алгоритм нахождения корня состоит из двух этапов:

•Отыскание приближенного значения корня или отрезка на оси абсцисс, его содержащего.

•Уточнение приближенного значения корня до некоторой точности.

На первом этапе применяется шаговый метод отделения корней, на вто-

ром - один из методов уточнения (метод половинного деления, метод Ньютона или метод простой итерации). Рассмотрим более подробно эти методы.

11

Шаговый метод

Дано уравнение F(x)=0. Задан интервал поиска [x0,x1]. Требуется найти интервал [a,b] длиной h, содержащий первый корень уравнения, начиная с левой границы интервала поиска.

Алгоритм метода:

•Установить интервал [a,b] на начало интервала поиска (a=x0).

•Определить координату точки b (b=a+h), а также значения функции в точках a и b: F(a) и F(b).

•Проверить условие F(a)*F(b)<0. Если условие не выполнено - передвинуть интервал [a,b] на один шаг (a=b) и перейти к пункту 2. Если условие

выполнено - закончить алгоритм.

Решением являются координаты точек a и b. Отрезок [a,b] содержит корень уравнения, поскольку функция F(x) на его концах имеет разные знаки (рис

2).

F(x)

Рис. 2. Иллюстрация шагового метода

Найдя первый корень, можно продолжить поиск корней по тому же алгоритму. В этом случае определяются отрезки, содержащие все корни уравнения на интервале поиска [x0,x1]. Если на всем интервале поиска ни разу не было выполнено условие F(a)*F(b)<0, то данный интервал вообще не содержит корней.

Рассмотрим пример ручной реализации метода.

12

Дано уравнение x2 – 4x + 3 = 0 и интервал поиска корня [0;2]. Требуется отделить первый корень уравнения шаговым методом с шагом h=0,3. Построим таблицу в соответствии с алгоритмом метода.

Таблица 1

Ответ: корень расположен на интервале [0,9;1,2].

Достоинство метода: простота алгоритма. Недостаток: для достижения большой точности требуется уменьшать шаг, а это может существенно увеличить время расчета.

Метод половинного деления

Метод основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность ε. Пусть задан отрезок [a,b], содержащий один корень уравнения. Этот отрезок может быть предварительно найден с помощью шагового метода.

Алгоритм метода (рис. 3):

•Определить новое приближение корня x в середине отрезка [a,b]: x=(a+b)/2.

•Найти значения функции в точках a и x: F(a) и F(x).

•Проверить условие F(a)*F(x)<0. Если условие выполнено, то корень расположен на отрезке [a,x]. В этом случае необходимо точку b переместить в точку x (b=x). Если условие не выполнено, то корень расположен на отрезке [x,b]. В этом случае необходимо точку a переместить в точку x (a=x).

•Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам. Алгоритм про-

должить до тех пор, пока не будет выполнено условие F(x) <ε.

13

F(x)

Рис. 3. Иллюстрация метода половинного деления

Рассмотрим пример ручной реализации метода. Дано уравнение

x2 – 4x + 3 = 0. Известно, что единственный корень уравнения расположен на отрезке [0,9;1,2]. Требуется уточнить значение корня методом половинного деления с точностью ε = 0,01. Построим таблицу в соответствии с алгоритмом метода.

Алгоритм остановлен, поскольку -0,00624 <0,01.

Ответ: уточненное значение корня x ≈ 1,0031.

Достоинство метода: более быстрая сходимость к заданной точности, чем у шагового. Недостаток: если на отрезке [a,b] содержится более одного корня, то метод не работает.

Метод Ньютона

Задан отрезок [a,b], содержащий корень уравнения F(x)=0. Уточнение значения корня производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [a,b], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки (т.е. выпол-

няется условие F(x0)*F′′(x0)>0). В точке F(x0) строится касательная к кривой

14

y= F(x) и ищется ее пересечение с осью x. Точка пересечения принимается за новую итерацию. Итерационная формула имеет вид:

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполне-

но условие F(x)<ε , где ε - заданная точность.

x2 x1

Рис. 4. Иллюстрация метода Ньютона

Рис. 4. иллюстрирует работу метода Ньютона. В данном случае вторая производная функции положительна, поэтому в качестве начального приближения выбрана точка x0 = b. Как видно из рисунка, метод имеет очень быструю сходимость: обычно заданная точность достигается за 2-3 итерации.

Рассмотрим пример ручной реализации метода.

Дано уравнение x2 – 4x + 3 = 0. Известно, что корень уравнения расположен на отрезке [0,9;1,2]. Требуется уточнить значение корня методом Ньютона с точностью ε = 0,001.

Найдем первую и вторую производную функции F(x). F’(x)= 2x – 4; F”(x) = 2. F(0,9) = 0,21; F(1,2) = -0,36. Следовательно, в качестве началь-

ного приближения выбираем точку x0 = a = 0,9. Построим таблицу в соответствии с алгоритмом метода.

Ответ: уточненное значение корня x ≈ 0,99999.

Достоинство метода: очень быстрая сходимость к заданной точности. Недостаток: громоздкий алгоритм: на каждой итерации необходимо вычислять значение функции и ее первой производной.

Метод простой итерации

Метод основан на замене исходного уравнения F(x)=0 на эквивалентное x=ϕ(x). Функция ϕ(x) выбирается таким образом, чтобы на обоих концах отрез-

ка [a,b] выполнялось условие сходимости ϕ′(x) < 1. В этом случае в качестве начального приближения можно выбрать любой из концов отрезка. Итерационная формула имеет вид

xi+1 =ϕ(xi )

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет выполне-

но условие F(x) <ε, где ε - заданная точность. Рассмотрим пример ручной реализации метода.

Дано уравнение x2 – 4x + 3 = 0. Известно, что корень уравнения расположен на отрезке [0,9;1,2]. Требуется уточнить значение корня методом простой итерации с точностью ε = 0,03.

На первом этапе нам необходимо выбрать функцию ϕ(x), удовлетворяющую условию сходимости.

Запишем исходное уравнение в виде x = x2 – 3x + 3. Тогда ϕ(x) = x2 – 3x + 3; ϕ′(x) = 2x – 3; ϕ′(0,9) = -1,2; ϕ′(1,2) = -0,6. Условие сходимости не выполнено,

поскольку -1,2 > 1.

16

Запишем исходное уравнение в виде:

В качестве начального приближения можно выбрать любой из концов отрезка, например x0 = a = 0,9. Построим таблицу в соответствии с алгоритмом метода.

Ответ: уточненное значение корня x ≈ 0,9885.

Достоинство метода: простота алгоритма. Недостатки: возможные слож-

ности с выбором функции ϕ(x); более медленное достижение заданной точности, чем у других методов уточнения.

3.3.Численные методы решения систем линейных уравнений

Крешению систем линейных уравнений сводятся многочисленные задачи. Рассмотрим постановку задачи.

Дана система n алгебраических уравнений с n неизвестными:

17

для больших порядков системы. Примеры - метод простой итерации и метод Зейделя.

Метод Гаусса

Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается x1 из всех последующих уравнений. Затем с помощью второго уравнения исключается x2 из последующих и т.д. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса и продолжается до тех пор, пока в левой части последнего n-го уравнения не останется лишь один член с неизвестным xn. В результате прямого хода система принимает вид:

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных, начиная с xn и кончая x1.

Рассмотрим пример ручной реализации метода Гаусса. Дана система уравнений третьего порядка:

Запишем систему в виде матрицы, включив коэффициенты уравнений и свободные члены:

Буква A в названии строки означает начальное приближение (при дальнейших действиях будут применяться следующие буквы латинского алфавита).

19

Алгоритм прямого хода метода Гаусса:

•Нормируем первое уравнение, разделив его почленно на коэффициент a11.

•Умножаем коэффициенты полученного уравнения на первые коэффициенты остальных уравнений (a21, a31).

•Полученные при перемножении результаты последовательно вычитаем из соответствующих уравнений.

Врезультате матрица принимает следующий вид:

Расчеты:

-1-(-1/6)*2=-1+1/3=-2/3; 1-(-1/6)*2=1+1/3=4/3; 3-1/6*2=1+1/3=4/3; 5-(-1/6)*1=5+1/6=31/6; -2-(-1/6)*1=-2+1/6=-11/6; 5-1/6*1=29/6.

Видно, что члены, содержащие x1 исключились из всех уравнений, кроме первого. Далее работаем с системой второго порядка (исключаем члены, содержащие x2 из третьего уравнения). В результате матрица принимает следующий вид:

Расчеты: (4/3)/(-2/3)=4*3/(3*(-2))=-2; (8/3)/(-2/3)=(8*3)/(3*(-2))=-4; -11/6+2*31/6=-11/6+62/6=51/6=17/2; 29/6+4*31/6=29/6+124/6=153/6=51/2.

Наконец, нормируем последнее уравнение:

В результате прямого хода метода Гаусса мы получили следующую систему уравнений, имеющую треугольный вид:

Обратный ход метода Гаусса существенно проще. Сначала из последнего уравнения вычисляем – x3, затем из второго – x2, наконец, из первого – x1. В результате получим:

x3 = 3; x2 = 2; x1 = 1.

Приведенный алгоритм является наиболее строгой реализацией метода Гаусса и применяется в стандартных программах ЭВМ. На практике можно использовать более простые действия для приведения системы к треугольному виду (переставлять местами уравнения, проводить между ними любые линейные операции).

Метод простой итерации

Пусть дана система n алгебраических уравнений с n неизвестными:

Решение систем линейных уравнений с помощью метода простой итерации сводится к следующему алгоритму.

Проверка условия сходимости. Для сходимости метода необходимо и достаточно, чтобы в матрице A абсолютные значения всех диагональных элементов были больше суммы модулей всех остальных элементов в соответствующей строке:

21

n

aii > ∑aij . i=1, i≠ j

Недостатком итерационных методов является это достаточно жесткое условие сходимости, которое выполняется далеко не для всех систем.

Если условие сходимости выполнено, то на следующем этапе необходимо задать начальное приближение вектора неизвестных, в качестве которого обычно выбирается нулевой вектор:

x1(0) = x2(0) =... = xn(0) =0 .

Заметим, что здесь и в дальнейшем нижний индекс обозначает соответствующую компоненту вектора неизвестных, а верхний индекс – номер итерации (приближения).

Затем организуется циклический вычислительный процесс каждый цикл которого представляет собой одну итерацию. В результате каждой итерации получается новое значение вектора неизвестных. Для организации итерационного процесса запишем систему (1) в приведенном виде. При этом слагаемые, стоящие на главной диагонали нормируются и остаются слева от знака равенства, а остальные переносятся в правую часть. Приведенная система уравнений имеет вид:

Итерационный процесс заканчивается, если для каждой i-й компоненты вектора неизвестных будет выполнено условие достижения точности:

xi( k ) − xi( k −1) < ε

где k - номер итерации, ε - заданная точность.

Рассмотрим пример ручной реализации алгоритма метода простой итерации. Дана система уравнений третьего порядка:

22

Требуется найти две первых итерации вектора неизвестных с помощью метода простой итерации.

Применим алгоритм метода. Проверка условия сходимости.

7 > -2 + 3 - да; -4 > 1 + 1 - да; 5 > -2 + 1 - да; сходимость

есть.

Выбор начального приближения: x1(0) = x2(0) =... = xn(0) = 0 .

Запись приведенной системы уравнений:

23

Выполним две итерации.

Результаты свидетельствуют о более быстрой сходимости метода Зейделя по сравнению с методом простой итерации.

3.4. Численные методы решения задачи аппроксимации

Постановка задачи

Пусть y является функцией аргумента x. Это означает, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. На практике иногда невозможно записать зависимость y(x) в явном виде. Вместе с тем, нередко эта зависимость задается в табличном виде. Это означает, что дискретному множеству значений { xi } поставлено в соответствие множество значений

{ yi }, 0 ≤ i ≤ m. Эти значения – либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.

25

На практике часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, иногда требуется определить значения функции в других точках, отличных от узловых. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации). В этом случае находят некоторую функцию ϕ(x), такую, чтобы отклонения ее от задан-

ной табличной функции было наименьшим. Функция ϕ(x) называется аппроксимирующей.

Вид аппроксимирующей функции существенным образом зависит от ис-

ходной табличной функции. В разных случаях функцию ϕ(x) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае подбирают соответствующие параметры таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию ϕ(x) представляют в виде полинома по степеням x. Запишем общий вид полинома n-й степени:

ϕ(x) = a0 +a1x +a2 x2 +...+an xn.

Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.

Таким образом, аппроксимация – замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой.

Интерполяция. Определение

Интерполяция является частным случаем аппроксимации. Это – задача о нахождении такой аналитической функции ϕ(x), которая принимает в точках (узлах) xi заданные значения yi. Иными словами, аппроксимирующая функция в случае интерполяции обязательно проходит через заданные точки.

Пусть табличная функция yi(xi) задана координатами своих точек в плос-

кости xy на интервале x [a;b] (рис. 5).

26

Рис. 5. Интерполяция

Внутри интервала [a;b] собрано множество точек табличной функции.

Требуется найти функцию ϕ(x) в любых других точках, принадлежащих данному интервалу. Это – задача интерполяции. Если аргумент x находится вне интервала [a;b], то это задача экстраполяции (серый цвет).

Линейная интерполяция

Пусть табличная функция содержит всего две точки {x1,y1} и {x2,y2}. Изобразим их на плоскости (рис 6).

Функцию ϕ(x) будем искать в виде полинома 1-й степени:

ϕ(x) = a0 + a1x.

y1

y2

Рис. 6. Линейная интерполяция

Неизвестные коэффициенты a0 и a1 можно найти из условия прохождения

y1 = a0 + a1 x1

y2 = a0 + a1 x2

прямой через заданные две точки:

27

Найдя неизвестные коэффициенты, их подставляют в выражение для функции ϕ(x). Полученное уравнение прямой позволяет определить значение функции в любой промежуточной точке.

Предположим теперь, что точек несколько, например, пять. В этом случае для каждой последовательной пары точек можно найти свое уравнение прямой из условия ее прохождения через соответствующие две точки. Первой уравнение системы - это условие прохождения прямой через точку с координатами (x1,y1), второе уравнение - условие прохождения прямой через точку с координатами (x2,y2). Таким образом, задача нахождения искомой функции, описывающей заданную табличную зависимость в случае линейного интерполирования сводиться к нахождению уравнений прямых, соединяющих точки 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5 соответственно.

Результирующая функция представляет собой ломаную линию. Это – ку- сочно-линейная интерполяция (рис.7).

y1 y3 y2

y5

y4

Рис 7. Кусочно-линейная интерполяция

Квадратичная интерполяция

Пусть табличная функция содержит три точки {x1,y1}, {x2,y2} и {x3,y3}. Изобразим их на плоскости (рис.8).

28

y2 y1

y3

x1 x2 x3

Рис 8. Квадратичная интерполяция

Неизвестные коэффициенты а0, а1, а3 в уравнении параболы y=a0+a1*x+a2*x2, проходящей через точки с координатами (x1,y1), (x2,y2) и (x3,y3)

может быть найдено из системы уравнений:

Предположим теперь, что точек несколько, например, пять. В этом случае для каждой последовательной тройки точек можно найти свое уравнение параболы из условия ее прохождения через соответствующие три точки. Результирующая функция состоит из отрезков парабол. Это – кусочно-параболическая интерполяция (рис. 9).

y1 y3 y2

y5

y4

Рис 9. Кусочно-параболическая интерполяция

29

Общий случай интерполяции. Полином n-й степени. Метод неопределенных коэффициентов

Пусть табличная функция содержит m точек. В этом случае можно построить различные виды кусочной интерполяции (кусочно-линейная, кусочнопараболическая и т.д.). В случае непрерывной интерполяции, когда использу-

ются все точки одновременно, функцию ϕ(x) будем искать в виде полинома степени n:

ϕ(x) = a0 +a1 x +a2 x2 +...+an xn .

В этом случае степень полинома всегда на единицу меньше числа точек. Действительно, при наличии двух точек мы строили прямую, при наличии трех точек – параболу и т.д. Следовательно, справедливо соотношение:

n = m – 1.

Для нахождения неизвестных коэффициентов необходимо построить систему линейных уравнений m-го порядка из условия прохождения полинома через все m точек:

В матричном виде система (1) может быть записана следующим образом:

C • A = Y,

где C – квадратная матрица m×m, составленная из известных координат точек, A – вектор неизвестных коэффициентов, Y – вектор-столбец свободных членов:

Ручная реализация методов интерполяции и аппроксимации

Дана табличная функция (3 точки):

Требуется:

•решить задачу интерполяции (кусочно-линейная и квадратичная интерполяция) методом неопределенных коэффициентов;

•решить задачу интерполяции (кусочно-линейная и квадратичная интерполяция) с помощью полинома Лагранжа;

•решить задачу аппроксимации (найти полиномы первой и второй степени методом наименьших квадратов).

Решение.

Вслучае интерполяции функция проходит строго через экспериментальные точки. Для кусочно-линейной интерполяции получим две системы из условия прохождения соответствующей прямой через точки 1 и 2, а также 2 и 3:

Для квадратичной интерполяции с помощью метода неопределенных коэффициентов получим систему:

Графическая иллюстрация (рис 12):

34