Примеры решения задач по векторной алгебре
.doc. Примеры решения задач по векторной алгебре
Пример 1. Найти длину вектора и его направляющие косинусы.
Решение:
=
Пример 2. Найти скалярное произведение векторов , .
Решение: Находим Так как и , то .
Пример 3. Определить, при каком значении m векторы 3+ m и – 2 будут взаимно перпендикулярны, если = 7; = 4; () = .
Решение:
Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
Возьмем скалярное произведение векторов 3+ m и – 2 и, приравняв его нулю, найдем m:
(3+ m )(– 2 ) = 0;
3 2– 6 cos + mcos – 2 m2 = 0;
3 49 2 – 6 7 4 + m 7 4 – 2 m 16 = 0;
294 – 168 + 28 m – 32 m = 0, 4 m =126, m == 31,5.
Пример 4. Определить угол между векторами и .
Решение:
Так как cos , то cos = . Имеем
2 4 + 1 6 – 3 7 = –7;
=; =.
Следовательно,
cos = , = arccos .
Пример 5. Найти векторное произведение векторов и .
Решение:
Пример 6. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и
Решение:
Находим векторное произведение на :
Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то S === 49 (кв. ед.).
Пример 7. Найти площадь треугольника ABC с вершинами A (1, 2, 0), B (3, 0, –3) и C (5, 2, 6).
Решение:
Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и : S = . Найдем векторы и : =; =.
Их векторное произведение
,
поэтому = 4 = 4 = 28, и следовательно, S = 14 (кв. ед.)
Пример 8. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах = 6– 3 и = 3 + 2 , если = 3; = 5; ()= .
Решение:
Имеем 18 () –9 () +12 () – 6 () = 21(), где
.
Итак, S == 21 3 5 = 157,5 (кв. ед.)
Пример 9. Найти смешанное произведение векторов , и .
Решение:
Пример 10. Показать, что векторы , и компланарны.
Решение:
Так как , то заданные векторы компланарны.
Пример 11. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A (2, 2, 2), B (4, 3, 3), C (4, 5, 4) и D (5, 5, 6).
Решение:
Найдем векторы и , совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине A: , , .
Находим смешанное произведение этих векторов:
Так как объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах и , то Vпир = (куб. ед.).