Приведение двойного интеграла к повторному в случае криволинейной области
Различают два основных вида области интегрирования:
1
.
Область первого типаD,
т.е. область А1А2В2В1,
ограниченную слева и справа прямыми x
= a,
x
= b
(a
< b)
соответственно, снизу – кривой у
= 1(х),
сверху – кривой у
= 2(х)
[2(х)
1(х)],
каждая из которых пересекается с
вертикалью х
=
(a
b)
только в одной точке (рис. 9);
у
y
A2
y
= 1(x)
D1
D2
d
B2
x
= 2(y)
A1
x
= 1(y)
B1
y
= 2(x)
C1
C2
c
0
a
b x
Рис. 9
0
x
Рис. 10
2. Область второго вида D, т.е. область C1D1D2C2, ограниченную снизу и сверху прямыми у = с, y = d соответственно, слева – кривой х = 1(у), справа – кривой х = 2(у) [2(y) 1(y)], каждая из которых пересекается с горизонталью у = (с d ) только в одной точке (рис. 10).
Замечание 1. В некоторых случаях точки А1 и А2, В1 и В2, С1 и С2, D1 и D2 могут сливаться в одну (см. рис. 11 и рис. 12).
у
D
y
A2
y
= 1(x)
d
B
x
= 2(y)
A1
y
= 2(x)
x
= 1(y)
C1
C2
c
0
a
b x
0
x
Рис. 11
у
D
y
y
= 1(x)
d
A
B
x
= 2(y)
y
= 2(x)
x
= 1(y)
C
c
0
a
b x
0
x
Рис. 12
Если для функции f(x, y), определенной в области D первого типа, существует двойной интеграл, а при каждом постоянном значении х из [a, b] простой интеграл
,
то существует также и повторный интеграл
(9)
и выполняется равенство
.
(10)
В случае области второго типа D
(11)
в предположении, что наряду с двойным интегралом существует простой интеграл по х при постоянном у.
Если область D можно рассматривать как область первого вида и как область второго вида (см. рис. 13), то при выполнении указанных условий применимы обе формулы (10) и (11), поэтому
.
y
d D
A B
c
C
0
a
b x
Рис. 13
y
y
y
= 1(x)
y
= 3(x)
D1
D2
A
y
= 1(x)
y
= 3(x)
D2
В А B
y
= 2(x)
y
= 2(x)
y
= 4(x)
D1
y
= 4(x)
C1
C2
0
x
0
x
Рис. 14
Замечание 2. В повторном интеграле (9) интегрирование производится сначала по у, при этом х считается постоянным; пределы интегрирования 1(х) и 2(х) представляют собой правые части уравнений линий у = 1(х) и у = 2(х), ограничивающих область D снизу и сверху соответственно. Другими словами, 1(х) – это значение ординаты у, при котором прямая х = «входит» в данную область D, 2(х) – значение ординаты у, при котором эта прямая «выходит» из указанной области (см. рис. 9). В результате интегрирования получается функция от х, которую потом интегрируют по х в постоянных пределах а и b, являющихся правыми частями уравнений прямых х = а и x = b, ограничивающих область D слева и справа соответственно.
Замечание 3. В повторном интеграле (11) интегрирование производится сначала по х от 1(у) до 2(у), при этом у считается постоянным, затем полученную функцию от у интегрируют по у в пределах от с до d (линии х = 1(у), х = 2(у); прямые у = с, y = d ограничивают область D; 1(у) – это «х входа» прямой у = в области D, 2(у) – «х выхода» из нее (см. рис. 10)).
Замечание 4. В повторном интеграле (10) нижний предел интегрирования по х равен наименьшей абсциссе точки граница области D (см. рис. 9), верхний предел b равен наибольшей абсциссе точки границы области D.
Замечание 5. В повторном интеграле (11) постоянные пределы интегрирования с и d являются наименьшей и наибольшей ординатами точек границы области D (см. рис. 10).
Пример
7.
Вычислить повторный интеграл
.
Написать уравнения линий, ограничивающих
область интегрирования соответствующего
двойного интеграла.
Напишем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования. В соответствии с замечанием 2 имеем: х = 0, х = 1 – уравнения прямых, ограничивающих область интегрирования слева и справа; у = х, у = 2 – х2 – уравнения линий, ограничивающих эту область снизу и сверху (рис. 15).
у
у
= х
у
у
= х
2
2
М2
1 В
1
1
х
0 А
-2
0 1 2 х
-1
у
= 2 – х2
у2
= 2 – х
М1
Рис.
15
Рис. 16
Переходим к вычислению повторного интеграла. Вычислим внутренний интеграл, считая х постоянным:
Следовательно,
.
Пример 8. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, к которому сводится двойной интеграл
,
где D – область, ограниченная линиями у2 = 2 – х, х + у = 0; f(x, y) – функция непрерывная в данной области.
Построим область D (рис. 16). Первая линия – парабола, симметричная относительно оси Ох с вершиной в точке А(2, 0); вторая линия – прямая, проходящая через начало координат (биссектриса второго и четвертого координатных углов). Найдем точки пересечения этих линий. Решая систему уравнений у2 = 2 – х и х + у = 0, находим: х1 = 1, у1 = -1, х2 = -2, у2 = 2; получены точки М1(1, -1), М2(-2, 2). Область интегрирования является областью второго вида (см. рис. 10). В данном случае х = 1(у) = -у (найдено из уравнения линии у + х = 0, ограничивающей область слева) и х = 2(у) = 2 – у2 (найдено из уравнения линии у2 = 2 – х, ограничивающей область справа), с = -1, d = 2 (наименьшая и наибольшая ординаты точек границы области; см. замечание 5). Следовательно, в соответствии с формулой (11)
.
Область
D
можно рассматривать также как сумму
двух областей АВМ1
и М1ВМ2
(см. рис. 16), так как линия, ограничивающая
снизу криволинейную фигуру АВМ2М1А,
на различных промежутках определяется
различными уравнениями, а именно: если
,
тоу
= -х;
если
,
то
.
Сверху криволинейная фигураАВМ2М1А
ограничена кривой
.
Итак, с другой стороны,
.
Таким образом,
.
Замечание 6. Последняя формула определяет перемену порядка интегрирования в заданном интеграле.
Пример
9.
Переменить порядок интегрирования в
повторном интеграле
,f(x,
y)
– функция, непрерывная в данной области.
у
у
2
1
М2 А
у
= х3/2
1
М1
М2
-1
1 х
0 А
у
=-
0
1 х 
у
= 2 – х2
у
= 1 – х2
М1
-1
Рис.
17
Рис. 18
Область
интегрирования ограничена линиями у3
= х2,
у
= 2 – х2
(рис. 17), пересекающихся в точках М1(-1,
1), М2(1,
1), т.е. представляет собой криволинейную
фигуру 0М1АМ2,
где А(0,
2) – точка пересечения параболы у
= 2 – х2
с осью Оу.
Эта область является областью первого
вида D
(см. рис. 9). Ее можно рассматривать также
как сумму областей второго типа D1
и
D2
(см. рис. 14), т.е. областей 0М1М2
и М1АМ2
(см. рис. 17). Область D1
ограничена слева дугой 0М1
графика функции х
= 1(у)
= -у3/2
(получено из уравнения у3
= х2)
и справа – дугой 0М2
графика функции х
= 2(у)
=-у3/2
(получено из того же уравнения) при любом
фиксированном у
из промежутка [0,
1].
Область D2
при любом у
из [1,
2]
ограничена слева дугой М1А,
справа – дугой АМ2,
т.е. дугами графиков функций
и
соответственно (эти уравнения получены
из уравненияу
= 2 – х2).
Следовательно, в соответствии со свойством 5
.
Пример
10.
Переменить порядок интегрирования в
повторном интеграле
,f(x,
y)
– функция, непрерывная в данной области.
Примеры для самостоятельной работы.
1.
Найти первые четыре члена ряда
.