- •Глава I. Множества, отображения и функции
- •Глава II. Введение в теорию векторных пространств.
- •1. Множества, отображения и функции
- •1.1. Множества. Общие понятия
- •1.2. Числовые множества.
- •1.3. Отображения
- •1.4. Композиция отображений. Обратные отображения.
- •2. Геометрические векторы. Основные определения
- •2. Простейшие операции над векторами
- •Числовые матрицы.
- •Определитель матрицы.
- •1. Понятие определителя
- •2. Правило Сарруса для квадратных матриц 3 порядка.
- •3. Свойства определителей
- •1. Равноправность строк и столбцов.
- •2. Антисимметрия при перестановке двух строк.
- •3. Линейное свойство определителя.
- •Обратные матрицы. (Возвращение в линейную алгебру)
- •Сумма двух подпространств.
- •1 Критерий базиса.
- •3Критерий базиса.
- •Замена базиса и преобразование координат векторов при замене базиса.
- •Матрица гомоморфизма. Координатная запись гомоморфизма.
1 Критерий базиса.
𝒜n базис ⇔ 𝒜 линейно независима.
2 Критерий базиса.
𝒜n базис ⇔ 𝒜n полная система.
Доказательство: 𝒜n линейно независима ∀𝑎̅∊V
𝒜n+1=(𝑎1,𝑎2, …, 𝑎n,𝑎̅) – линейно зависима.
𝒜n+1 линейно зависима через базис.
n+1 ≥ n по теореме о линейной зависимости, что 𝑎n+1 – линейно зависим ⇒
Если коэффициент при 𝑎 не 0 то 𝑎 выражается ⇒ полная система.
Если коэффициент при 𝑎=0 то не существует 𝑎n+1 элементов ⇒ противоречие.
Пусть 𝒜n – полная.
∀𝑎̅ из V
[e̅1, e̅2,…, e̅n]=V
𝒜n – полная [𝒜n] = V
Отступление: Ранг системы векторов.
Пусть дано 𝒜n.
Определение: Максимальное число линейно независимых векторов, называется её рангом, а векторы входящие в это число образуют ранговую подсистему.
𝒜n – полная [𝒜n] = V
r = rang 𝒜n= rang𝒜r
𝒜r ⊂ 𝒜n
𝒜r - ранг подсистемы.
Справедливы следующие утверждения:
Любая система 𝒜n линейно выражается через любую свою ранговую подсистему.
Линейная оболочка совпадает с любой своей оболочкой подсистемы.
[𝒜r] = [𝒜n]
dim[𝒜r] = dim[𝒜n]=r
3Критерий базиса.
Замена базиса.
V – векторное пространство, dimV=n
Имеется базис e̅1, e̅2,…, e̅n
i′ - №столбца
i - №строки
1столбец – координаты 1 вектора
2столбец – координаты 2 вектора
…………………………………………………..
Эйнштейн предложил писать так e̅i′ = ti′iei
Если один и тот же индекс встречается 2 раза, 1 раз вверху и один раз внизу, предполагается, что по этому индексу осуществляется суммирование в заданных индексах. (Немой индекс) Все прочие индексы могут быть и верхними, и нижними, свободное указание.
Формулировка 3 критерия базиса.
Система е′ (упорядоченная) является базисом ⇔ матрица перехода Т для этой системы исходного базиса – невырождена, её определитель не нуль.
Доказательство:
- элементы обратной матрицы
Ранг системы векторов.
См. отступление.
Элементарные преобразования системы векторов.
Перемена местами 2 векторов в системе.
Умножение какого-либо вектора системы на любое не нулевое число.
Прибавление к какому-либо вектору любого другого вектора.
Отбрасывание с противоположным(прибавление) знаком любого не нулевого вектора.
Лемма1: Каждое элементарное преобразование обратимо.
Лемма2: Две системы векторов 𝒜n и 𝓑k называются эквивалентными, если одна из другой получается элементарными преобразованиями.
Если 𝒜n эквивалентно 𝓑k , то ранг𝒜n равен рангу𝓑k
dim[𝒜m]=rang𝒜m
Подпространство натянутые на эквивалентные системы имеют одну и ту же размерность.
𝒜m линейно выражается через 𝓑n∼𝒜m⊂[𝓑n].
В силу свойства транзетивности линейной выражаемости, которое мы применяем в следующей ситуации:
[𝒜m] Линейно выражается через 𝒜m и 𝒜m линейно выражается через 𝓑n ⇒ [𝒜m] линейно выражается через 𝓑n ⇒ [𝒜m]⊂[𝓑n] – по свойству транзетивности линейной выражаемости.
Если системы векторов эквивалентны:
Пусть одна система получается элементарными преобразованиями из 𝓑n.
Система 𝒜m получается элементарными преобразованиями из 𝓑n ⇔ 𝒜m линейно выражается через 𝓑n⇒[ 𝒜m]⊂[𝓑n].
Если 𝒜m∼𝓑n.⇔ [𝒜m]=[𝓑n]⇔𝒜m и 𝓑n линейно выражаются одна через другую.
Ранг матрицы.
Берем произвольную прямоугольную матрицу
Рангом матрицы 𝒜 – называется ранг системы столбцов.
rang𝒜 ≝ rang𝒜∙n
Следствие
rang𝒜 ≤ n
Так как 𝒜∙n⊂Rm⇒ rang𝒜 ≤ m
Мысленно перебераем миноры матрицы.
Рассмотрим миноры порядка k, 1 ≤ k ≤ min(m,n)
Обязательно найдется ненулевой минор высшего порядка.
Он всегда существует для каждой фиксированной тматрицы.
Теорема о ранге матрицы.
Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен рангу этой матрицы.
Замечание: Если все миноры порядка k равны нулю, то равны нулю и все миноры более старшего порядка( более высоких порядков, если они есть).
По теореме Лапласа: более высокий минор можно разложить по минорам наименьшего порядка.
Доказательство: Обозначим r наивысший порядок миноров матрицы отличных от нуля.
Предположим, что некоторый минор стоит в левом верхнем углу( r первых столбцов занимаем этот минор).
Если D≠0, то r – наивысший порядок отличный от нуля.
∆i=0 при r≤i≤m, т.к. в этом случае ∆i – минор матрицы А порядка r+1 для любого i ∆i=0⇒Мы приходим к выводу, что ∆i=0 ∀1≲i≲m.
Каждый столбец с номером l ≥ r есть линейная комбинация первых r столбцов.
Это означает, что первые r столбцы образуют ранговую подсистему системы всех столбцов.
Мы рассмотрели случай, когда минор в левом верхнем углу. А если в другом месте? Общий случай сводиться к рассмотренному путем перемены местами строк и столбцов. Тогда наш минор всегда загониться в левый верхний угол.
При этом не ранг матрицы, не порчее не меняется.
Следствие 1
Если исходная матрица квадратная m = n , то мы получаем, что определитель её равен нулю ⇔ система её столбцов линейно зависимая.
Получаем критерий равенства нуля определителя.
Вспомним свойство определителя, как транспонирование.
При транспонирование определитель не меняется.
Определитель – ранг матрицы – ранг системы её столбцов
Определитель – наивысший порядок отличен от 0
Определитель – ранг системы её строк
Способы вычисления рангов:
Метод окаймляющих миноров
Метод элементарных преобразований
Алгоритм:
Смотрим, перебираем все миноры 1-го порядка:
а) все они 0 ⇒ матрица нулевая, ранг = 0
б) Существует по крайней мере один не нулевой минор, ранг не меньше 1.
Перебираем все миноры 2 порядка:
а) все миноры 2-го порядка 0, то ранг = 1
б) среди миноров 2-го порядка есть не нулевой, ранг≥2
……( и т.д. перебирать)
Но метод №1 надо перебирать на 2 шаге не все миноры, а окаймляющие, тот минор не нулевого порядка(т.д. надо рассматривать только лишь окаймляющие найденного не нулевого минора).
Пример на метод окаймления:
1) Существует минор 1-го порядка, например 𝑎11=2≠0 ⇒ r≥1
2)
3)
Теорема: С помощью элементарных преобразований систем векторов строк и векторов столбцов.
Всегда можно получить единичную матрицу, порядок которой равен рангу исходной матрицы.
Ранги матрицы(продолжение).
Ранг произведения матриц не выше рангов каждого из сомножителей.
А
∙
В =
С
mxn nxl mxl
i-ая строка Ci матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В
[C1∙,C2∙, ,C m]⊂[b1∙,b2∙,…,bn∙]⇒[CM∙]⊂[BN∙]⇒rangC≤rangB
Следствие:
Ранг произведения произвольной матрицы А справа или слева на квадратную невырожденную матрицу Q равен рангу матрицы А.
Д
C = A x
Q (или C=Q x A)
mxn nxn
mxm mxn
а) C=AxQ⇒rangC≤rangA
|Q|≠0⇔∃Q-1
CxQ-1=AxQxQ-1=A⇒rangA≤rangA⇒rangA=rangC
СЛАУ
Критерий совместности СЛАУ
Ax=B
Частным решением такой системы называется всякий упорядоченный набор, при подстановки которых уравнения становятся верным числовым неравенством.
Теорема Кронекера-Капелли(критерий совместности СЛАУ)
СЛАУ совместна⇔ ранг матрицы А совпадает с рангом расширенной её матрицы rangA≤rangA̅
Доказательство:
Необходимость:Если система совместна, следовательно ранг совпадает.
Пусть (1) совместна, значит существует решения ,при подстановки которых получаем верные равенства.
- верно ⇒В линейная комбинация столбцов матрицы А⇒rangA=rangA̅
Если Ar – ранг системы столбцов матрицы А, то она будет ранговой и для А̅.
Линейные оболочки столбцов А и столбцов А̅ - одинаковы ⇒ ранги одинаковы.
И наоборот:
Достаточность: Пусть ранги одинаковы.
Берем Аr ранговая подсистема системы столбцов матрицы А. она же будет ранговой подсистемой системы столбцов матрицы А̅, и как была так и остается линейно ⇒ если мы ранговой подсистеме добавляем вектор любой подсистемы, то мы получаем систему линейно зависимую ⇒ существуют такие числа (λ1,λ2,…,λr) что λ1(α∙1)+ λ2(α∙2)+…+ λr(α∙r)=В ⇒ упорядоченный набор чисел λ=(λ1,λ2,…,λr,0,0,0,…,0) – решение СЛАУ.
Т.е. система совместна.
Алгоритмы решения СЛАУ.
Исследование на совместность.
Находим решение
В случае совпадения двух, фиксируем ранговый минор, то есть минор наивысшего порядка = k. Какой-то один (их несколько).
Как только выбран ранговый (базисный) минор, нужно разбить неизвестные на две группы
1 группа – основные неизвестные, т.е. из коэффициентов при которых состовляем ранговый минор. Неизвестные с теми номерами, которые имеют столбцы, в которых стоит ранговый минор.
2 группа – свободные неизвестные.Т.е. все остальные(n-r).
Все уравнения, коэффициенты из которых не входят в ранговый минор – вычеркиваются, остаются только r-уравнений. Потому что все остальные строки – решение линейно-ранговой подсистемы. Все члены со свободными неизвестными переносятся в правые части. Получается новая подсистема с числом неизвестных r. Имеется новая СЛАУ – квадратная относительно основных неизвестных. Но в правой части комбинация с коэффициентами неизвестных. Свободным неизвестным придаем мысленно какие-либо значения, фиксируем, т.е. получаем полную новую систему, но их бесконечное множество. Система получается крамеровской. Определитель ≠0⇒ всякая такая система, получающаяся фиксацией, будет иметь одинаковые решения, которые можно найти по формуле Крамера. Но т.к. свободных членов >0(0,когда n=r), то сводится к виду трапеции.
Важнейший случай СЛАУ.
Однородные СЛАУ – называется однородной, если все её свободные члены нули( столбцов свободных членов 0).
- приведенная
однородная система
1≤i ≤m
-
в
вещественном виде
-
в
комплексном виде
L – множество решений однородной СЛАУ(1).
Теорема о L подпространство в Rn
Сумма любых двух решений вновь решение.
λ=(λj) и β=(βj)∊L
γ=λ+β=(γj=λj+βj)⇒
Система совместна всегда, так как есть всегда 0 решений.
Теорема о базисе и размерности пространства решений однородной СЛАУ.
Пусть задана произвольная однородная СЛАУ(1).
r=rangA=rang(αij) (r≤m)
фиксируем ранговый минор, не ограничивая общности.
Разбиваем на 2 группы
x1, x2,…, xr - основные
xr+1, xr+2,…, xn - свободные
1≤i≤r, n≤m
|
xr+1 |
xr+2 |
. |
. |
xn |
λ 1 |
λ 1,r+1 |
λ 1,r+2 |
. |
. |
λ 1,n |
λ 2 |
λ 2,r+1 |
λ 2,r+2 |
. |
. |
λ 2,n |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
λ n-r |
λ n-r,r+1 |
λ n-r,r+2 |
. |
. |
λ n-r,n |
n-r – серия свободных неизвестных, определитель должен быть отличен от нуля.
λ 1=(λ1,1,…, λ1,r, λ1,r+1,…, λ1,n)∊L
λ 2=(λ2,1,…, λ2,r, λ2,r+1,…, λ2,n)∊L
…………………………………
λ n-r=(λn-r,1,…, λn-r,r, λn-r,r+1,…, λn-r,n)∊L
Пусть β – произвольные решения
β =(β1,…, βr, βr+1,…, βn) , где (β1,…, βr) – основные, (βr+1,…, βn) – свободные.
Пример:
dimL1
rangL1=2
rangL2=2
Связь решений произвольной СЛАУ и её приведенной однородной.
Теорема 1. Разность любых двух решений СЛАУ(1) будет решением её приведенной системы.
Теорема 2. Сумма любого частного решения системы(1) и любого решения системы(2) является частным решением системы(1).
Теорема 3. Сумма любого частного решения системы(1) и общего решения его приведенной системы(2) является общим решением системы(1).
Доказательство Т.1.
Доказательство Т.2.
Доказательство Т.3.
В силу Т.2 сумма любого частного решения системы(1) и любого решения системы(2), будет новым частным решением системы(1).
Берем любое решение системы(1) λ=(λj)
β=(βj) тоже любое решение системы(1).
Фиксируем.
γ=λ-β(по Т.1)⇒решение системы(2) (по Т.2)⇒λ=λ+β
Линейные отображения векторных пространств(Морфизмы).
Обратное отображение – есть композиция f с g - это id на y, и наоборот id на x.
Рассмотрим 2 векторных пространства. V,W – векторные пространства на одном и том же числовом полем P(≡Rn,Cn)
1. Говорят, что отображение φ линейно, если оно сохраняет линейные операции, т.е. образ суммы любых двух векторов равной сумме их образов.
2. Произведение образ на число равно произведению образа этого вектора на число
Теорема: Условие линейности 1.+2.⇒равносильны следующие условия:
4. Образ любой линейной комбинации векторов равен линейной комбинации образов этих векторов с теми же самыми коэффициентами.
Отображение: Правило ставит (x, f, y) в соответствие элементу из первого множества – единственный элемент из второго множества.
Обратное отображение существует когда исходное отображение биективно.
Любой инъективный гоморфизм – мономорфизм.
Любой сюръективный гоморфизм – эпиморфизм.
Любой биективный гоморфизм – изоморфизм.
Два вектора пространства V и W называют изоморфными, если между ними можно установить изоморфное соответствие.
Координатный изоморфизм.
– гомоморфизм.
– базисV.
;
Соглашение о суммирование. Если в некотором выражении с индексом один и тот же индекс встречается два раза как верхний, так и нижний индекс, то предполагается, что по данному индексу в выражении произведено суммирование в данном (от e до n) отрезке.
(2)
– лин.
Координаты суммы равны сумме координат и с произведением на число.