Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

rtc_uch_16

.pdf

Скачиваний:

123

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

9.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 362 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Два сигнала Sk (t) и Sn (t) называются ортогональными, если их скалярное произведение, описываемое (1.8), равно нулю. При этом ψk,n = 90o .

Для комплексных сигналов можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение

∞	(1.8' )
(Sk , Sn ) = ∫ Sk (t)Sn* (t)dt ,

−∞

такое, что (Sk , Sn ) = (Sn , Sk )* .

Некоторые аналогии между элементарными геометрическими понятиями и соответствующими им понятиями в теории сигналов даны в таблице.

В геометрии

В теории сигналов

Длина( l ) вектора

(модуль, норма):

Норма сигнала S(t) :

∞

l =| S |=|| S ||= ∑Si2 ,

|| S(t) ||= ∫

(t)dt = Эs ,

где Si – координата вектора по i -й оси

−∞

где Эs – энергия сигнала

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение

сигналов

S(t), U (t) :

U :

∞

(S,U ) =| S | | U | cos(ϕs,u ) ,

(S(t),U (t)) = ∫ S(t)U (t)dt = Эs,u

где ϕs,u – угол между векторами

−∞

Эs,u – взаимная энергия сигналов, или

энергия взаимодействия сигналов

Расстояние ( ds,u ) между векторами

Метрика (расстояние) между сигналами

S(t), U (t) :

S , U :

∞

d s,u =| S − U |= ((S − U ), (S − U ) ) =

|| S(t) −U (t) ||= ∫ [S(t) −U (t)] dt

= ∑(Si − U i )2

−∞

Вектор единичной длины (орт) l :

Нормированный сигнал:

S (t )

S (t)

|| S (t ) ||

∞

l = |

∫ S 2 (t )dt

−∞

Ортогональные векторы

Ортогональные сигналы S(t),

U (t) :

(

) = 0 , ϕs,u = 90o

∞

(S(t), U (t)) = ∫ S(t)U (t)dt = 0

−∞

12	ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Обобщенный ряд Фурье. Пусть имеется гильбертово пространство сигналов, определенных на отрезке времени (t1, t2 ) ко-

нечном или бесконечном. Пусть также на этом отрезке задана бесконечная система (подмножество) функций

	ϕ0 (t), ϕ1(t), ...., ϕn (t), .... ,
попарно ортогональных
	t2					2	, k = n,
	(ϕk (t),ϕn (t))= ∫		\|\| ϕ		n	\|\|		(1.11)
	(ϕk (t),ϕn (t))= ∫	ϕk (t)ϕn (t)dt =			n		, k ≠ n,	(1.11)
	t1			0			, k ≠ n,
	t1
		t2
где	\|\| ϕn \|\|2 = ∫		ϕn2 (t)dt = Эϕ					(1.12)
		t1

– квадрат нормы или энергия базисной функции ϕn (t) .

Говорят, что таким образом в гильбертовом пространстве сиг-

налов задан ортогональный координатный базис, т. е. система ор-

тогональных базисных функций.

Базисная функция ϕn (t) , для которой квадрат нормы равен еди-

нице (ϕn 2 =1), называется нормированной, а вся система функ-

ций {ϕn (t)} – ортонормированной или ортонормальной. В этом

случае говорят, что задан ортонормированный базис.

Проецирование произвольного сигнала S(t) H на оси коорди-

натного базиса называется разложением в обобщенный ряд Фурье.

Это разложение имеет вид

∞
S(t) = C0ϕ0 (t) +C1ϕ1(t) +....Cnϕn (t) +.... = ∑Cnϕn (t) .	(1.13)

n=0

Коэффициенты Сn , представляющие собой проекции сигнала S(t) относительно выбранного базиса, определяются изсоотношения

t2
Cn = (S(t),ϕn (t))= ∫	S(t)ϕn (t)dt	(1.14)
t1

– для ортонормированных функций ϕn (t) , или

								13
	1			1		t
Cn =	1		(S(t),ϕn (t))=	1		∫2	S(t)ϕn (t)dt	(1.14')
Cn =	\|\| ϕn \|\|	2	(S(t),ϕn (t))=	\|\| ϕn \|\|	2	∫2	S(t)ϕn (t)dt	(1.14')
	\|\| ϕn \|\|			\|\| ϕn \|\|		t
					1

– для ортогональных, но ненормированных функций ϕn (t) . Произведение вида Cnϕn (t) , входящее в ряд (1.13), представля-

ет собой спектральную составляющую сигнала S(t) , а совокуп-

ность коэффициентов (проекций сигнала) {C0 ,..,Cn ,..} называется

спектром сигнала. Графическое изображение

{C0 ,..,Cn ,..}

в виде вертикальных отрезков,

называемое

спектральной диаграммой,

дает

наглядное представление о спектре сигнала

(рис. 1.2).

1 2

Рис. 1.2

Суть спектрального анализа сигнала

S(t)

состоит в

определении коэффициентов

(экспериментально или аналитически) в соответствии с (1.14').

На основе ряда (1.13) возможен синтез (аппроксимация) сигналов при фиксированном числе N ряда

N
S(t) = C0ϕ0 (t) +... + CN ϕN (t) = ∑Cnϕn (t) .		(1.15)
n=	0

При этом обобщенный ряд Фурье обладает следующим важным свойством: при заданной системе базисных функций {ϕn (t)} и

числе слагаемых N он обеспечивает наилучший синтез (аппроксимацию), давая минимум среднеквадратической ошибки ε , под которой понимается величина

	t2		2		t2		N	2
ε	= ∫			dt	= ∫	S(t) − ∑Cnϕn (t)			dt .	(1.16)
ε	= ∫	S(t) − S(t)		dt	= ∫	S(t) − ∑Cnϕn (t)			dt .	(1.16)
	t				t		n=0
	1				1

Ортогональная система называется полной, если увеличением N можно сделать ε сколь угодно малой. Ряд (1.13) называется в этом случае сходящимся в среднем.

Относительная ошибка μ синтеза определяется по формуле

μ = ε/ Эs ,

(1.17)

где Эs – энергия сигнала (на сопротивлении 1 Ом), численно равная квадрату нормы сигнала [см. формулу (1.6)].

14	ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

Формула (1.6) с учетом ряда (1.13) может быть записана:

t2	∞		2 ,
Эs = ∫	[S(t)]2 dt = ∑Cn2	ϕn		(1.18)

t1	n=0

а при использовании ортонормированной системы функций {ϕn (t)}

∞

Эs = ∑Cn2 .

n=0

Очевидно, что средняя за период T = t2 −t1 мощность сигнала

Эs

1 t2

∞

Pсp =

∫

[S(t)]

dt =

∑Cn

ϕn

(1.19)

n=0

Выражение вида (1.18) или (1.19) называется равенством Пар-

севаля.

Выбор рациональной системы ортогональных функций. Он зависит от поставленной задачи.

Так при анализе и синтезе сигналов, воздействующих на линейные цепи, наибольшее распространение получила система гармонических функций. Во-первых, гармонические колебания в отличие от других сохраняют свою форму при прохождении через эти цепи; изменяются лишь амплитуда и начальная фаза. Во-вторых, широко используется хорошо разработанный в теории цепей символический метод. Представление сигналов в базисе гармонических функций будет рассмотрено в главе 2.

Из множества других задач наиболее важной является задача приближенного разложения сложных сигналов, при которой требуемая точность обеспечивается при минимуме членов ряда. Для разложения непрерывных сигналов применяются полиномы и функции Лагерра, Лежандра, Чебышева, Эрмита и др. Системы этих функций рассмотрены в [1, 3], а задачи приведены в [5]. Для представления ступенчатых сигналов используются кусочнопостоянные функции Уолша, Хаара, Радемахера.

В последние годы широко применяют базисные функции типа вейвлетов [31-34], которым специально посвящена глава 16.

Ниже рассмотрены функции Уолша (ФУ), которые также получили широкое применение [14-16].

Функции Уолша. Способ аналитического задания и нумерации (упорядочения) ФУ может быть различным [1]. Их можно сформировать, например, с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара

H N порядка

N = 2n

называется

квадратная матрица

размера

N × N с элементами ±1 такая, что

H1 =1 , H2 =

H1, H1

1, +1

,…,

HN =

HN / 2 , HN / 2

(1.20)

H1, − H1

1, −1

HN / 2 , − HN / 2

ФУ, упорядоченная по Адамару ( had(n,T )

с номером n ), является

последовательностью прямоугольных импульсов с единичными амплитудами и полярностями, соответствующими знакам n -й строки матрицы. Под длительностью подразумевается (1/ N )-я доля интервала ортогональности [0, T ], или при введении безразмерного времени θ = t / T , безразмерного интервала [0,1].

Упорядочение по Уолшу характерно тем, что номер k функции wal(k,θ) равен числу перемен знака на интервале ее существова-

ния (рис. 1.3).

Основные свойства функций Уолша:

•ФУ ортонормированные.

•Перемножение двух ФУ дает также ФУ

wal(k, θ)wal(l, θ) = wal(m, θ) ,

где m = k l , − символ поразрядного суммирования по модулю два: 1 1 = 0 0 = 0 ; 1 0 = 0 1 =1 .

•Умножение ФУ самой на себя дает (как следует из предыдущего) ФУ с нулевым номером wal(0,θ) .

•Умножение ФУ wal(k, θ) на wal(0, θ) не изменяет исходную

функцию.

• Площадь ФУ на интервале ортогональности

1	1,	k = 0,
∫wal(k, θ)dθ =		k ≠ 0.
0	0,	k ≠ 0.

• Четным относительно середины интервала ( θ = 0.5 ) функциям соответствуют четные значения k и наоборот.

• ФУ обладают свойством симметрии, проявляющимся в том, что все выводы относительно k справедливы также относительно θ и др.

16	ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ
wal(k,и)				had(k,и)
0					0
0					0
1					8
1					8
2					1
3					4
3					4
4					6
4					6
5					14
5					14
6					10
6					10
7					2
7					2
8						3


9					11




10					15


11					7



12
								5


13					13



14							9



15
					1


								t

0				T
		0.5	1					θ = t / T
		0.5	1					θ = t / T

Рис. 1.3

Формулы (1.13) и (1.14) при использовании ФУ в качестве базисных функций примут вид:

			∞
			S(θ) = ∑Bnwal(n, θ) ,			(1.21)
			n=0
B =	1	T	S(t)wal(n, T )dt =	1	S(θ)wal(n, θ)dθ .	(1.22)
B =	T	∫	S(t)wal(n, T )dt =	∫	S(θ)wal(n, θ)dθ .	(1.22)
n	T	∫		∫
n
		0		0

Вопросы использования ортогональных функций и, в частности ФУ, в радиотехнике подробно изложены в [14-16].

1.3.ЗАДАЧИ

1.3.1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИГНАЛОВ

1.Изобразите графики следующих сигналов:

а) S1(t) =U σ(t − τ1) ;	б) S2 (t) =U σ(τ1 −t) ;
в) S3(t) =U σ(−t −τ1) ;	г) S4 (t) =U σ(t + τ1) .
2. Как изменится вид сигналов	S1(t) ÷ S4 (t) из задачи 1, если
вместо U взять −U ?
3. Изобразите графики функций Дирака:
а) S1(t) =U δ(t − τ1) ;	б) S2 (t) =U δ(τ1 −t) ;
в) S3 (t) =U δ(−t − τ1) ;	г) S4 (t) =U δ(t + τ1) .

4. Изобразите график сигнала, математическая модель которого

имеет вид:

> τ

/ 2

S(t) =

(1.23)

/ τ

< τ

/ 2.

Запишите математическую модель сигнала с помощью суммы и произведений функций Хевисайда.

5. Импульсы напряжения изображены на рис. 1.4. Запишите математическую модель сигналов двумя способами: а) на временных интервалах аналогично выражению (1.23), б) с помощью комбинаций функций Хевисайда.

18	ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

		S1(t)			S2 (t )		S3 (t )
U					U		U
−τ1	0	τ2	t	−τ1	0	t	0 τ1	τ2	t
	а			б				в

Рис. 1.4

6.Изобразите графически сигналы, полученные дифференцированием видеоимпульсов, изображенных на рис. 1.4. Запишите математические модели.

7.Представьте графики радиоимпульсов, образованных произ-

ведением соответствующих видеоимпульсов S1(t) ÷ S3 (t) (рис. 1.4)

игармонического колебания 1cos ω0t .

8.Запишите математическую модель видеоимпульса рис. 1.4, а

ввиде суммы четной и нечетной частей (графически и аналитически).

9.Составьте математическую модель для описания бесконечной

последовательности одинаковых импульсов прямоугольной (рис. 1.4, а) и треугольной (рис. 1.4, б) формы с периодом T = 2τu .

10. Изобразите график сигнала

S(t) =U (1−e−α t )[σ(t) −σ(t − τ1)]+Ue−α(t−τ1)σ(t − τ1) ,

где α =1/ t0 , t0 < τ1 / 3 .

1.3.2.ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

11.Вычислите

∞

I1 = ∫ [σ(t − τ1) −σ(t − τ2 )]dt ;

−∞

∞

I2 = ∫ σ(t − τ1)σ(τ2 −t)dt ;

−∞

∞

I3 = ∫ [σ(t −τ1) −σ(t −τ2 )]2 dt ;

−∞

∞

I4 = ∫ [σ(t −τ1) −σ(τ2 −t)] σ(τ2 −t)dt .

−∞

12. Найдите

∞

I1 = ∫ [δ(t − τ1) −δ(t − τ2 )]dt ;

−∞
∞
I2 = ∫ [δ(t − τ1)δ(τ2 −t)]dt ;
−∞
∞	∞
I3 = ∫ e−αt δ(t) dt ;	I4 = ∫ e−αt δ(βt) dt .
−∞	−∞
13. Вычислите
∞	∞
I1 = ∫ e−αt δ′(t) dt ;	I2 = ∫ t2δ′(t)dt ,
−∞	−∞
′
где δ (t) = dδ(t) / dt .

14. Запишите математическую модель и дайте динамическое представление сигнала рис. 1.4, а, воспользовавшись функциями

σ(t) и δ(t) .

15. Воспользовавшись формулой (1.1), дайте динамическое представление экспоненциального видеоимпульса:

u(t) =U exp(−αt)σ(t) .

16. Изобразите графики функций и дайте динамическое представление сигналов, используя функции σ(t) и δ(t) :

S1(t) = σ(t)Um cos ω0t ; S2 (t) = σ(t − τ)Ume−αt .

1.3.3.ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

17.Множество М образовано сигналами вида

Sn (t) = An cos(ωnt + ϕn )

–гармоническими колебаниями, отличающимися своими амплитудами An , частотами ωn и начальными фазами ϕn ; при этом ам-

плитуды колебаний не превосходят 20 В. Найдите амплитуду суммарного колебания S(t) =15cos ω1t +10cos ω3t , где ω3 = 3ω1 . Мож-

но ли считать заданное множество линейным пространством?

18. Множество М образовано прямоугольными видеоимпульсами напряжения на интервале времени (0, 50 мкс). Амплитуды импульсов не превышают 15 В. Покажите, что данное множество не является линейным пространством сигналов.

20ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИГНАЛОВ

19.Вычислите энергию и норму сигнала с амплитудой U и длительностью τu . Форма импульса (рис. 1.5):

а) прямоугольная S1(t) =U1 ,

0 ≤ t ≤ τu ;

б) треугольная S2 (t) = (U2 / τu )t , 0 ≤ t ≤ τu ;

в) экспоненциальная S3 (t) =U3 exp(−αt) , t > 0 , α > 0 ;

г) синусоидальная S4 (t) =U4 sin(πt / τu ) , 0 ≤ t ≤ τu .

S1(t )

S2 (t )

τu

S3 (t )

S4 (t )

τu

Рис. 1.5

20. Определите энергию и норму экспоненциального видеоимпульса

u(t) = 50e−105 t σ(t) , В.

21. Определите метрику сигналов: а) S1(t) и S2 (t) ; б) S1(t) и

S4 (t) . Сигналы S1(t) , S2 (t) и S4 (t) заданы в задаче 19.

22.По данным предыдущей задачи вычислите амплитуду U1

прямоугольного импульса так, чтобы было минимальным расстояние между ним и: а) треугольным импульсом S2 (t) ; б) синусои-

дальным импульсом S4 (t) . Найдите в каждом случае это мини-

мальное расстояние.

23. По данным задачи 19 найдите величину параметра α , при которой метрика d (S1(t), S3 (t)) минимальна. Параметры U1 =U3 =U0 , τu и α – положительные вещественные числа. Амплитуда U0 и длительность τu импульса считаютсяфиксированными.

<<< < Предыдущая 12 / 362 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015224.48 Кб37rgr_kachestvo.docx
#
22.07.201995.74 Кб3rgz пример.doc
#
27.03.2015738.75 Кб29RGZ_3.docx
#
27.03.2015820.74 Кб23RGZ_OOP_10.doc
#
03.05.201548.41 Кб20Robotics.docx
#
27.03.20159.82 Mб123rtc_uch_16.pdf
#
17.04.20191.14 Mб1RTU.docx
#
26.04.20192.38 Mб3russky.doc
#
27.03.20151.16 Mб11Sachuk.pdf
#
27.03.2015238.83 Кб4samiit164.pdf
#
27.03.2015236.28 Кб4samiit176.pdf