16. Дифференцирование сложной ф-ии

Пусть дана ф-яи

где (1)

ТЕОРЕМА

Пусть ф-ия (1) дифференцируема в некоторой точке . Пусть ф-иядифференцируема в соответствующей точке, где. Тогда сложная ф-ия, гдеопределены соотношениями (1), дифференцируема в точке М. При этом частные производные этой сложной ф-ии в точке М определяются формулами:

…

где все частные производные берутся в точке N, а все частные производныеберутся в точке М, зависящей от t.

ЗАМЕЧАНИЕ

В частном случае, когда ф-ии (1) зависят только от одного аргумента t , получим сложную ф-ию одной переменной t,т.е. , где(i=1,2,…,n). В этом случае производная этой сложной ф-ии определяется формулой

17. Однородная функция. Теорема эйлера об однородных функциях

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Ф-ия , заданная на множ-ве {M} наз однородной ф-ей степени Р на этом множ-ве, если для каждой т.множ-ва {M} и для каждого числа t, для котороговыполняется рав-во:

Пример:

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА(ОБ ОДНОРОДНОЙ Ф-ИИ)

Если явл в некоторой области М дифференцируемой однородной ф-ей степени Р, то в каждой точкеобласти {M} справедливо рав-во:

.

18. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных

Пусть дана ф-ия . Если ф-иядиф-ема и аргументыявл независимыми переменными, то дифференциал этой ф-ии будет

Предположим, что это соотношение имеет место и в том случае, когда аргументы явл диф-ыми ф-ями переменных,т.е.

…

Указанные свойства первого дифференциала обычно наз инвариантностью его первой формы. Пусть ф-ия дифференцируема в точке, а ф-ии(i=1,2,…,n) дифференцируемы в точке Апричем. В этом случае ф-июможно рассматривать как сложную ф-ию независимых переменных, которая в силу теоремы о дифференцируемости сложной ф-ии будет диф-ема в точке А. поэтому дифференциал duэтой сложной ф-ии можно представить в виде

где (i=1,2,…,k)

Представляя эти соотношения в выражении для du и собирая коэф-ты при получим

В этом выражении (i=1,2,…,n)

Поэтому получаем

т.е. инвариантность формы первого дифференциала установлена.

Свойства инвариантности формы первого дифференциала позволяет установить следующие правила для дифференциалов. Пусть дифференцируемые ф-ии каких-либо переменных, тогда:

1)

2))

3)

4)

19. Геометрический смысл дифференциуемости функции двух переменных

В случае двух переменных условие дифференцируемости можно продемонстрировать геометрически.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Плоскость П, проходящая через точку наз касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через точкуи любую точкуповерхности стремится к 0, когда точкастремится к. Если в точкесущ касательная плоскость, то касательная в точкек любой кривой, расположенной на поверхности и проходящей через точкулежит в указанной плоскости. Покажем, что из условия диф-сти ф-иив точкевытекает существование касательной плоскости к графику этой ф-ии в точке. Пусть,,, где. Условие дифференцируемости ф-ииимеет вид, где A и В постоянные равные частным производнымив точке.

, B,- б.м. при,ф-ии. Рассм след ур-е. Из аналитической геометрии известно, что это ур-е определяет в декартовой системе коор-т некоторую плоскость, проходящую через точкуи имеющую нормальный вектор. Покажем, что эта плоскость явл касательной плоскостью в точкеповерхности. Действительно, эта плоскость проходит через точкуповерхности. Уголмежду нормальным вектороми любой секущей, когда точкаповерхности стремиться к точке. Для этого найдем косинус

Найдем коор-ты вектора . Еесли точка, то. Поэтому. Поэтому из условия дифференцируемости ф-ииследует. Поэтому, когда

Т.о. дифференцируемость ф-ии в точкес геометрической точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику ф-иив точке. Т.к. коэф-ты А и В равны соотв-но частным производным ф-ии, вычисляемым в точке, то ур-е касательной плоскости может быть записана в виде+

Нормальный вектор наз нормалью к поверхностив точке. Ур-я нормали имеют вид.