Кривые второго порядка

Контрольные вопросы:

1. Окружность.

2. Эллипс.

3. Гипербола.

4. Парабола.

5. Общее уравнение кривой второго порядка.

1. Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра) на данное расстояние.

Если R – радиус окружности, точка С- ее центр, то уравнение окружности имеет вид

. (8)

Пример 4. найти координаты центра и радиус окружности .

Решение.

Разделим исходное уравнение на 2, сгруппируем выражения относительно х и у:

.

Дополним выражения, стоящие в скобках до полных квадратов:

или

.

Таким образом, координаты центра окружности , радиус окружности равен.

2. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рисунке 11, а фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках и, то получится простейшее (каноническое)уравнение эллипса:

. (9)

Здесь а – большая, b – малая полуось, причем а, b и с (с – половина расстояния между фокусами) связаны соотношением .

Рис. 6

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом .

Расстояния некоторой точки эллипса М от его фокусов называются фокальными радиус-векторами этой точки. Их обычно обозначают и. Для любой точки эллипса в силу определения.

Фокальные радиус-векторы выражаются через абсциссу точки эллипса по формулам: (правый фокальный радиус-вектор),(левый фокальный радиус-вектор).

3. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают через 2а), причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами.

Если поместить фокусы гиперболы в точках и, то получимканоническое уравнение гиперболы

, (10)

где . Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точкииназываются вершинами гиперболы. Отрезоктакой, что, называетсядействительной осью гиперболы, а отрезок такой, что, -мнимой осью. При этом .

Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки М(х;у) гиперболы этой прямой стремится к нулю при или. Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых.

На рисунке 7 указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. Отношение называетсяэксцентриситетом гиперболы.

Рис.7

Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы: (правый фокальный радиус-вектор),(левый фокальный радиус-вектор).

Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы: (правый фокальный радиус-вектор),(левый фокальный радиус-вектор).

4. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точка, то уравнение параболы имеет вид

. (11)

Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс (рис. 8, где ). Приветви параболы обращены в положительную сторону.

Рис. 8

Длина фокального радиус-вектора параболы определяется по формуле().

5. Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

, (12)

где A, B, C, D, E, F – произвольные действительные числа. Оно определяет на плоскости Оху эллипс, гиперболу или параболу (с возможными случаями распада и вырождения этих кривых) с осями симметрии, параллельными осям координат:

1) если , тогда определяемая этим уравнением кривая есть эллипс (действительный, мнимый или выродившийся в точку);

2. если , тогда соответствующая кривая является гиперболой;

3. если , тогда уравнение определяет параболу.

Если кривая второго порядка задана уравнением (12) то, применив преобразование поворота осей координат с использованием формул

, , (13)

следует при соответствующем выборе α освободиться в уравнении от члена с произведением координат и свести исходное уравнение к одному из трех вышеперечисленных типов.

Пример 5. Привести к каноническому виду уравнение

.

Решение.

1. Преобразуем данное уравнение, использовав формулы поворота осей координат:

или

Найдем α из условия , т.е. приравняем к нулю коэффициент при. Получим уравнение. Отсюда,.

Заметим, что эти значения соответствуют двум взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому, взяввместо, мы только меняем ролями осии(рис. 9).

Рис. 9

Пусть , тогда,; возьмем положительные значенияsinα и cosα. Тогда уравнение принимает вид

или

2. Выражения, стоящие в скобках, дополним до полных квадратов:

или

.

Приняв за новое начало точку , применим формулы преобразования координат, получим

или (уравнение эллипса).