14. Гамильтон функциясы. Оның физикалық мағынасы.

Гамильтон теңдеулері импульспен координатаға тәуелді бірінші дәрежелі дифференциалды теңдеулер жүйесі болып табылады.

(1)

координата ретінде – айнымалыларын аламыз

(2)

Гамильтон функциясы кинетикалық энергия мен потенциалдық энергияның қосындысына тең

(3)

Гамильтон функциясы мен Лагранж функциясының айырымы:

(4)

болатынын ескерсек

(5)

Біртекті функцияларға арналған Эйлер теоремасын еске түсірелік

(6)

анықтама бойынша , сондықтан

(7)

(8)

(9)

15. Гамильтонның ең аз принципінен оның канондық теңдеулер жүйесін қорытып шығару.

Механиканың ең аз әсер принципі орындалу үшін мына жақшаның ішіндегі айырмалар нөлге тең болу керек:

(1)

(2)

Сонымен (1)–механиканың канондық теңдеулері немесе Гамильтон теңдеулері деп аталады. Егер Гамильтон функциясы қандай да бір координатаға тәуелді болмаса, мысалы -ге байланысты болмаса,болады. Яғни, сәйкес жалпылама импульс құраушысы тұрақты болады. Мұндай координаталарциклдық координаталар деп аталады.

16. Импульстің, импульс моментінің, энергияның сақталу заңдарының кеңістік пен уақыт симметрияларымен байланысы. Энергияның сақталу заңы.

механикалық жүйе қозғалысқа түскенде оның механикалық күйін сипаттайтын шамалары уақытқа тәуелді өзгереді. Бірақ, осы шамалардың кейбір функциялары қозғалыс кезінде өздерінің алғашқы шарттарға тәуелді мәндерін сақтап қалады. Осы функцияларды қозғалыс интегралдары деп атайды.

қозғалыс интегралдарының кейбірі кеңістік пен уақыттың біртектілігі және изотроптылығы қасиеттерімен байланысты. Барлық осы сақталып тұрған шамалардың ортақ аддитивтік қасиеті бар. Яғни бір-бірімен әсерлеспейтін бөлшектерден тұратын жүйе үшін осы сақталатын шамалардың мәндері әрбір бөлшектің жеке-жеке мәндерінің қосындысынан тұрады.

Уақыттың біртектілігінен туатын сақталу заңын қарастырайық.

Тұйық жүйенің Лагранж функциясы біртекті болғандықтан, ол функция уақытқа тәуелді болмайды. Сондықтан Лагранж функциясының уақыт бойынша толық дифференциалы былай жазылады:

(1)

Лагранж теңдеуі:

(2)

(2)-ден тауып алып, (1) қоямыз.

(3)

немесе

(4)

(5)

- шамасы тұйық жүйенің қозғалысы кезінде өзгеріссіз қалады. Бұл жүйенің энергиясы деп аталады.

Энергияның сақталу заңы тек тұйық жүйелер үшін ғана орындалып қоймай, кейде сыртқы өрісте (уақытқа тәуелсіз) болатын жүйелер үшін де орындалады. Энергиялары сақталатын механикалық жүйелер консервативті жүйелер деп аталады.

Тұйық жүйе үшін Лагранж функциясы мынадай екенін білеміз:

(6)

мұндағы– жылдамдықтың квадратының функциясы. Осыған Эйлердің біртекті функцияларына арналған теоремасын қолдансақ:

(7)

(8)

17. Сақталу заңдарының кеңістік пен уақыт симметрияларымен байланысы. Импульстің сақталу заңы.

–Лагранж функциясы өзгермейтіндей етіп шексіз аз көшіруін қарастырамыз.

Параллель көшіру дегеніміз кеңістіктің барлық нүктелері түрлендіру кезінде бірдей қашықтыққа орын ауыстырады дегені, мысалы:

(1)

(2)

Жүйенің барлық материалдық нүктелерінің қосындысын қарастырамыз.- ні қалауымызша ала алғандықтан,деп ала аламыз:

Лагранж теңдеулерінен:

(3)

(4)

(5)

болса,

(6)

(7)

–импульс деп аталады. Ол жүйе қозғалысқа түскенде өзгеріссіз қалады.