18.Термнің мәні және формуланың структурада орындалуы.

а) Константалық, айнымалылық және функционалдық термдердің мәні.

в)негізгі анықтама.

Термнің мәні.

Енді алгебралық жүйеде берілген тізбектегі термнің мәні және формуланың орындалу ұғымдарын анықтайық.

t(x₁,…,x_s) және φ(x₁,…,x_s) арқылы барлық айнымалылары (бос және байланған) x₁,…,x_{s ,} тізбегінен табылатын сәйкес терм мен формуланы белгілейік.

ᶆ =<M,σ> алгебралық жүйесінде =(m₁,…,m_s) ϵ M^s тізбегіндегі t(x₁,…,x_s) термнің мәнін анықтайық. Берілген тізбектегі терм мәнін M(t)[ m₁,…,m_s] немесе қысқаша M(t)арқылы белгілейміз.

Анықтама.

Егер t=x_i(1≤i≤s) айнымалы термі болса, онда M(t)=m_i

Егер t=c_k константалық терм болса, онда M(t)=a_kϵM,мұндағы a_k злементі с_k константалық теріміне берілген интерпретация бойынша М жинынынан алынған.

Егер t= tⁿ(t₁,…,t_n) функционалық терм болса, онда M(t)= tⁿ(M(t₁),…, M(t_n)) деп аламыз.

Формуланың алгебралық жүйеде орындалуы.

Енді ᶆ=<M,σ> алгебралық жүйеде m₁,…,m_s ϵ M тізбегіндегі φ(x₁,…,x_s) формуласының орындалуын φ формуласының күрделілігі бойынша индукцияны пайдаланып анықтайық.

Белгілеуі:ᶆ|=φ

Ол үшін алдымен формуланың алгебралық жүйеде орындалу ұғымын атомдық формулалар үшін анықтап, формулалардың күрделілігі бойынша функцияны пайдаланып бұл ұғымды барлық формулалар жиынына ұлғайтамыз. Бірақ келесі мәселер біздің анықтамамызға түсінбеушілік туғызуы мүмкін. Атап айтқанда, формуладағы кванторлар кейбір бос айнымалыларды байланған айнымалыларға айналдырады. Демек, берілген формула мен оның қандай да бір ішкі формуланың бос айнымалылар саны бірдей болмауы мүмкін. Мысалы, Ǝx₁[Ɐx₁R³(x_1, x_2, x₃)-> Ɐx₁¬S²(x_1, x₂)] формуласы бір бос айнымалысы x_1, x_2, x₃ бар. Сондықтан формуланың күрделігі бойынша индукциялық анықтаманың (7) және (8) пунктері түсінбеушілік туғызуы мүмкін. Біз бұл қиындықты айналып өту үшін алдымен анықтаманы барлық айнымалылары (бос және байланған) { x₁,…,x_s } жинынына тиісті болатын формулалар үшін береміз. Бұл жағдайда оның кез келген ішкі формуласының барлық айнымалылары да осы жиынға тиісті болады. Ендеше индукциялық қадамда жоғарыда айтқан қиындық тумайды.

t(x₁,…,x_s), φ(x₁,…,x_s) айнымалылары { x₁,…,x_s } жиынына тиісті cәйкес терм мен формула болсын. Енді осы жағдайда қандай айнымалыларды бос айнымалы деп атайтынымызға келісейік. Мысалы x₁+ x₁* x₂ терімін t(x₁, x_s) немесе кез келген { x_1, x_2,…., x_s}(s≥2) ақырлы жиын үшін t(x₁, x_2,....,x_s) түріндегі терм деп есептеуімізге болады. Бірақ, бұл термдегі бос айнымалылар x₁, x₂ ғана. Ал ⱯхƎуR(x,y,z) формуласын φ₁(z), φ₂(y,z) немесе φ₃(х,у,z) түріндегі формула десек болады. Бұл формуладағы бос айнымалы тек z болатыны түсінікті.

Енді осы түсініктемелерден кейін алгебралық жүйеде берілген тізбекте формуланың орындалуы туралы негізгі анықтама беруіне дайынбыз.

Негізгі анықтама.

Анықтамада қысқалық үшін =(x₁,…,x_s) белгілеуін қолданамыз.

ᶆ=<M,σ> алгебралық жүйесінде m₁,…,m_s ϵ M тізбегіндегі φ(x₁,…,x_s) формуласының орындалу.

Егер φ формуласы t₁=t₂ түріндегі атомдық формула болса, онда

ᶆ|=φ M(t₁)= M(t₂);

Егер φ(x₁,…,x_s) формуласы P(t₁,…,t_k) түріндегі атомдық формула болса,онда

ᶆ|=φ ᶆ а.жүйесінде Pⁿ(M(t₁)= M(t₂)) қатынасы орындалады.

Егер φ=¬ψ формуласы болса,онда

ᶆ|=φ ᶆ|≠ψ

Егер φ=ψ^ Өболса, онда

ᶆ|=φ ᶆ|=ψ және ᶆ|=Ө

Егер φ формуласы ψvӨ түрінде болса, онда

ᶆ|=φ ᶆ|=ψ немесе ᶆ|=Ө

Егер φ=ψ→Ө болса, онда

ᶆ|=φ ᶆ|≠ψ және ᶆ|=Ө

Егер φ=Ɐvψ(v) болса,онда

ᶆ|=φ кез келген аϵМ элементі үшін ᶆ|=ψ

Егер φ=ⱻvψ(v) болса,онда

ᶆ|=φ қандай да бір аϵМ элементі табылып, ᶆ|=ψорындалады.