2.2.3 Клеткалы автомат модельдері
Клеткалы автомат модельдерінде (Cellular Automata (CA)) жол клеткаларға бөлінеді, уақыт та дискретті болып саналады. Көбінесе, бірақ әрқашан да емес, клеткада біреуден артық АТҚ бола амайды деп есептелінеді. Осылайша, жоғарыда қарастырылған микроскопиялық теңдеулердің айырмалық аналогтары алынады. Көбіндее АТҚ жылдамдығының мүмкін мәндерінің жиынын да осындай модельдерде дискретті деп санайды.
Клеткалы автомат тұжырымдамасын ХХ ғасырдың 50жылдары өзі жаңғыратын машиналар теориясын құрумен байланысты Дж. фон Нейман (Нойман) енгізді.Клеткалық автоматтарды транспорттық ағындарды модельдеуде қолдану [11] ұсынылған. Дегенмен бұл тұжырымдаманы белсенді қолдану К. Нагельжәне М. Шрекенбергтің жұмыстарынан кейін ғана басталды.
Нагель–Шрекенберг моделін қысқаша сипаттайық (1992). В CA-моделінде әрбір m→ m + 1 қадамында жүйедегі барлық АТҚ-ң жағдайы келесі ережелерге сәйкес жаңарады.
1-қадам. Үдеу (максималды мүмкін жылдамдықтан аспай, мүмкіндігінше жылдамырақ қозғалу бағытын бейнелейді):
(35)
2-қадам. Тежеу (алдыда келе жатқан АТҚ-мен соғысулардың болмауына кепілдік береді):
, (36)
мұндағы d~7,5 м.
3-қадам. Кездейсоқ ауытқулар (АТҚ әрекетіндегі айырмашлықтарды ескереді):
(37)
4-қадам. Қозғалыс:
(38)
Келтірілген төрт қадам да транспорттық ағынның қасиеттерін жаңғырту үшін қажет. Мысалы, 3-қадам жеткілікті жоғары тығыздық болған кездегі транспортты ағынның тұрақсыздығын негіздейді.
1 жұмыстарында Нагель–Шрекенберг типтес модельден гидродинамика-лық ( Бюргерс, Хопф типтес ) модельдерге ауысу–гидродинамикалық шекті ауысу сипатталған. А жұмысында кері ауысу – ультраметрлік шектік ауысу сипатталған.
М. Л. Бланкты қолдана отырып қарапайым СА-моделіне сүйеніпV(ρ) қалып – күй теңдеуін шығару тәсілдерінің бірін көрсетейік.
n ұяшықтан (клеткадан) тұратын орамды жолды қарастырайық. Әрбір ұяшықта бір ден артық АТҚ орналаса алмайды. Барлық ұяшықтардың ұзындықтары (шартты) бірліктермен бірдей және тең. Сонымен қатар n айтарлықтай үлкен сан деп есептейміз. Егер орамды топологияны алмасақ, айталық, шексіз түзу сызықты жол (жолақ), онда n бойынша «термодинамикалық шектік ауысу» жасау керек (бұл ұғым статистикалық физикадан келген) – «пропорцияларды сақтай отырып» n-ді шексіздікке ұмтылдыру қажет. Уақыттың бастапқы сәтінде ұяшықтардың кейбіріне АТҚ орналастырды делік. 0<ρ≤ 1 арқылы бос емес ұяшықтар үлесін белгілейік.
Басында барлық АТҚ қозғалыс жүрісіне қарай келесі ұяшыққа, сосын осы ұяшықтар бос болып қалған АТҚ басқаларына тәуелсіз бос ұяшыққа қарай 0<ρ≤ 1 ықтималдығымен қозғалады. Осылайша уақыт бойынша әр қадамда орындала береді.
Орташа кеңістікті жылдамдықты анықтайық:
(39)
Онда 0<ρ≤ 1 кезінде марковтық процесстер үшін эргодикалық теорема бойынша әрбір АТҚ-ң орташа уақыттық жылдамдығы (р=1 кезінде)
(40)
V «орташа» жылдамдығының ρ тығыздығына тәуелділігі іргелі диаграмма үшбұрышты типті болатыны анық болады.
2.6-сурет. ρ=1/2 кезіндегі «фазалық ауысу»
Фазалық ауысулар жағынан қарағанда сипатталған өзгерісі синхронизациялы қозғалыстың режиміне сәйкес келетін жаңа «гистерезистік» фазаның туындауына сәйкес келеді.
Көпжолақтылықты зерттеудің қызықты идеяларын (іргелі диаграмманың тәжірибелік «әлеміштілігін» түсіндіретін) А.П.Буслаев және т.б. жақында ұсынды. Транспортты ағынды сипаттау үшін тығыздық пен жылдамдықтан бөлек «жүйелілік параметрі» енгізілген Танака моделі қолданылады, бұл параметрдің көмегімен «АТҚ жүргізушілерінің бір бөлігі ағын ішіне қатысты қозғалысты жүзеге асыру үшін «жүйелі қозғалысты босатады». Осындай түрдегі модельдердің көмегімен көпжолақты қозғалыс жағдайындағы тіргелі диаграмманың ойыс еместігін теориялық түрде түсіндіру мүмкін болғанын айта кетейік.
Енді клеткалы модельдердің жоғарыда қарастырылған теңдеулердің айырмалық аналогтары болып табылатын басқа түріне ауысайық. Осы кластағы модельдердің көпшілігі «жататын» сызбаны келтірейік. Кіру және шығуы бар магистраль (жалпы айтқанда көпжолақты) жағдайымен шектелейік. Магистральды клеткаларға (ұяшықтарға)–ұзындығы жүз метрден кем болмайтынтүзусызықты жол бөліктерінебөлейік.
2.7-сурет.Тұтастық шектемесі
(41)
LWR моделі үшін жылжымалы есеп сызбасының аналогы деп есептеді. Осы сызбаның айқын кемшілігі келесі «сенгісіз» жағдайлардың болуы болып табылады (αi≡0 және ri(m)≡0 деп есептейміз). Бірінші клетка толығымен жүктелген (онда АТҚ-ң максималды тығыздығы –«ағынсыз кептеліс»), ал қозғалыс жүрісіне қарай келесі клетка толығымен бос (онда АТҚ жоқ). Онда таңдалған АТҚ ағынын сипаттау тәсіліне сәйкес ештеңе болмайды, яғни уақыт өте жағдай өзгермейді. Тәжірибеден АТҚ-ды бос клеткаларға «ауыстыратыны» белгілі. Ал енді бірінші клетка, мысалға, жартылай жүктелген, ал қозғалыс жүрісіне қарай келесі клеткада- ағынсыз кептеліс. Онда qi(m)≡0, ал модель бойынша керісінше. Сонда да «сындық режимдерге дейін» зерттеу - осы модельдің көмегімен іргелі диаграмманың «сол (өспелі) бұтағы» әбден дұрыс.
СТМ-модельді орамды және сызықты магистральға қарағанда, күрделірек топологиялы транспортты желі графтарына жинақтауға болады. расында, ол үшін транспорттық желі графының әр түйініндегі араластыру матрицасын білу қажет. Содан басқа, «даулы жағдайларды» шешуді қосымша (магистральды топологиямен салыстырғанда) тіркеу керек (араластыру матрицасын білу жеткіліксіз болуы мүмкін). Мысалға, келесілер сияқты: қиылыс бар болсын. Қиылысқа А жолынан кіретін жүргізушілердің үштен екісі қиылыстан шығатын С жолына бұрылғылары келеді, қиылысқа В жолынан кіретін жүргізушілердің үштен екісі де С жолына бұрылғылары келеді. Екіжолақты С жолы 4000 АТҚ/сағ өткізе алады деп есептейік (максималды өткізу қабілеті). А және В да екіжолақты, және екеуінен де қиылысқа кіретін АТҚ ағыны 4000 АТҚ/сағ. Жағдайдың толығымен анықталмағаны айқын. Не болатынын түсіну үшін, сонымен қатар, мысалға, осы қиылыстағы бағдаршамның жұмыс істеу режимін де білу керек (ол болған жағдайда). Осылайша, ағындардың ажырауы тек қана араластыру матрицасына ғана емес, сонымен қатар, мысалға, бағдаршамның жұмыс істеу режиміне де байланысты. Араластыр матрицасын біле отырып және бағдаршамның жұмыс істеу тәртібімен «қаруланып» қарастырылға моделдердің айылған қорытындысын жалпы түрдегі транспорттық желі графтарында алуға болады. осы сияқты күрделірек түйіндерді де қарастыруға болады. 1936 ж. Мәскеу университетінің жас профессоры А. Н. Колмогоров «Мәскеу құрылысы» журналына хатында қиылысты дұрыс ұйымдастырумен байланысты сұрақты талқылағанын айта кету керек. 2010 жылы тамызда өткізілген Мәскеу қаласының басшылығымен шақырылған Жапония мамандары Мәскеу қаласының әртүрлі түйіндерін зерттеу маңызды түйіндердің бірқатарының «тиімсіздігін» көрсетті.
Айтылып кеткендей, өзінің салыстырмалы қарапайымдылығына қарамастан СТМ-модель қосымшаларда көп талап етілетін модельдердің бірі болып табылады.
Осы модельдердің аналитикалықт қасиеттеріне келетін болсақ (LWR -модельдері үшін айырмалық сызбалар көмегімен алынған), онда дифференциалды - айырмалық аналогтарды зерттеу оңайырақ, яғни уақыт үзіліссіз өтіп жатыр деп есептесек. Айырмалық сызбалар (соның ішінде жоғарыда аталып өткендер) айқын түрде дифференциалды – айырмалық болып қайта жасалады, сонымен қатар Курант–Фридрихс–Левидің LWR теңдеуін жуықтайтын (уақыт бойынша қадам кеңістікті айнымалы бойынша қадамнан жеткілікті түрде кіші) сызбаның дұрыстығына қажетті шарты автоматты түрде орындалады.
Жоғарыда айтылғандардың бәрімен байланысты келесі есеп туындайды: тепе-теңдік күйін зерттеу - LWR–модельден (үшбұрышты немесе параболалық іргелі диаграммамен) Годуновтың дифференциалды – айырмалық сызбасының көмегімен алынған жалпы түрдегі транспорттық желі графында динамикалық жүйенің стационарлы режимдері (сонымен қатар оларды тарту, тебу алаптары). 2004 ж. Жылжымалы есеп сызбасы үшін осы бағыттағы арнайы құрылымды (орамды, «гүлді» және т.с.с.) графтарға араналған зерттеулер А.П.Буслаев және т.б.-мен жүргізілді.2006ж. А.И.Назаров [11] мақаланың нәтижелерін қорытындылады. Дегенмен, жоғарыда айтылып кеткендей, жылжымалы есеп сызбасы – барлық мүмкін жағдайларда транспорттық ағынды сипаттау үшін ең қолайлы нұсқа емес. В диссертации 2007ж. А.А.Куржанскийдің диссертациясында магистральдағы транспортты ағындардың СТМ-моделі үшін (Годунов сызбасы + үшбұрышты іргелі диаграмма) тепе-теңдік күйінің (айтарлықтай қарапайым және сызықтық құрылымы толығымен сипатталған алуан түрлілікті құратын) асимптоталық тұрақтылығы (ғаламдық) зерттелді.
Егжей-тегжейінен айырылған «пропорционалды артықшылықтар» ережесінің түрлендіруін қолданып, транспорттық желі графындағы қарапайым дифференциалдық теңдеулер жүйесін (ҚДТЖ) жазайық.
Транспорттық желі графының түйіндерін «өңдеу ережесінің» басқалары да бар.
Әрбір тұйық транспортты желі үшін (ашық желілерге талдап қорытға болады) стационарлы режим тұрақты болады, егер стационарлы жазықтық мәндері сәйкес үшбұрышты іргелі диаграмманың сол (өспелі) бұтақтарында «жатса».