§ 2. Различные виды уравнений прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой

Если на плоскости введена ПДСК, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат и

, (5)

где иодновременно не равны нулю, определяет прямую.

Верно и обратное утверждение: в ПДСК любая прямая может быть задана уравнением первой степени вида (5).

Уравнение вида (5) называется общим уравнением прямой.

Частные случаи уравнения (5) приведены в следующей таблице.

	Значении коэффициентов	Уравнение прямой	Положение прямой
1			Прямая проходит через начало координат
2			Прямая параллельна оси
3			Прямая параллельна оси
4			Прямая совпадает с осью
5			Прямая совпадает с осью

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой.

Углом наклона прямой к оси называется наименьший угол , на который нужно повернуть против часовой стрелки ось абсцисс до её совпадения с данной прямой (Рис.6). Направление любой прямой характеризуется еёугловым коэффициентом , который определяется как тангенс угла наклонаэтой прямой, т. е.

.

Исключение составляет только прямая, перпендикулярная оси , которая не имеет углового коэффициента.

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и пересекающей осьв точке, ордината которой равна(начальная ордината), записывается в виде

.

3. Уравнение прямой в отрезках

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида

, (6)

где исоответственно длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях, взятые с определёнными знаками.

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Пучок прямых

Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей угловой коэффициент записывается в виде

. (7)

Пучком прямых называется совокупность прямых плоскости, проходящих через одну и точку центр пучка. Если известны координаты центра пучка, то уравнение (8) можно рассматривать как уравнение пучка, поскольку любая прямая пучка может быть получена из уравнения (8) при соответствующем значении углового коэффициента(исключение составляет прямая, которая параллельна осиеё уравнение).

Если известны общие уравнения двух прямых, принадлежащих пучку и(образующих пучка), то уравнении любой прямой из этого пучка можно записать в виде

. (8)

5. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и, имеет вид

.

Если точки иопределяют прямую, параллельную осиили оси, то уравнение такой прямой записывается соответственно в виде

или .

6. Взаимное расположение двух прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности

Взаимное расположение двух прямых, заданных общими уравнениями

и ,

представлено в следующей таблице.

Взаимное расположение прямых	Условие
Пересечение
Параллельность
Совпадение

Под углом между двумя прямыми понимается один из смежных углов, образованных при их пересечении. Острый угол между прямыми м, определяется формулой

.

Заметим, что если хотя бы одна из данных прямых параллельна оси , то формула (11) не имеет смысла, поэтому будем использовать общие уравнения прямых

и .

формула (11) примет вид

.

Условие параллельности:

или .

Условие перпендикулярности:

или .

7. Нормальное уравнение прямой. Расстояние точки от прямой. Уравнения биссектрис

Нормальное уравнение прямой имеет вид

,

где длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую,угол наклона этого перпендикуляра к оси. Чтобы привести общее уравнение прямойк нормальному виду, нужно обе части равенства (12) умножить нанормирующий множитель , взятый со знаком противоположным знаку свободного члена.

Расстояние точкиот прямой найдём по формулам

или

. (9)

Уравнение биссектрис углов между прямыми и :

.

Задача 16. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно данной прямой.

Решение. По условию параллельности прямых . Для решения задачи будем использовать уравнение прямой, проходящей через данную точкув данном направлении (8):

.

Найдём угловой коэффициент данной прямой. Для этого от общего уравнения прямой (5) перейдём к уравнению с угловым коэффициентом (6) (выразим через):

.

Следовательно, .

Тогда .

Задача 17. Найти точку , симметричную точке, относительно прямой.

Решение. Для того, чтобы найти точку симметричную точке относительно прямой(Рис.7) необходимо:

1) опустить из точки на прямуюперпендикуляр,

2) найти основание этого перпендикуляраточку,

3) на продолжении перпендикуляра отложить отрезок .

Итак, запишем уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной прямой. Для этого воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (8):

.

Подставим координаты точки :

. (11)

Угловой коэффициент найдём из условия перпендикулярности прямых:

.

Угловой коэффициент данной прямой

,

следовательно, угловой коэффициент перпендикулярной прямой

.

Подставим его в уравнение (11):

.

Далее, найдём точку точку пересечения данной прямой и ей перпендикулярной прямой. Так как точкапринадлежит обеим прямым, то её координаты удовлетворяют их уравнениям. Значит, для отыскания координат точки пересечения требуется решить систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых:

Решение системы ,, т. е..

Точка является серединой отрезка, тогда из формул (4):

, ,

найдём координаты точки :

, .

Таким образом, искомая точка .

Задача 18.Составить уравнение прямой, которая проходит через точку и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 150 кв.ед. (Рис.8).

Решение. Для решения задачи будем использовать уравнение прямой «в отрезках» (7):

. (12)

Так как точка лежит на искомой прямой, то её координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой:

.

Площадь треугольника, отсекаемого прямой от координатного угла вычисляется по формуле:

(записан модуль, так как имогут быть отрицательными).

Таким образом, получили систему для отыскания параметров и:

Эта система равносильна двум системам:

Решение первой системы ,и,.

Решение второй системы ,и,.

Подставим найденные значения в уравнение (12):

, ,,.

Запишем общие уравнения этих прямых:

, ,,.

Задача 19. Вычислить расстояние между параллельными прямыми и.

Решение. Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию произвольной точки одной прямой до второй прямой.

Выберем на прямой точкупроизвольно, следовательно, можно задать одну координату, т. е. например, тогда.

Теперь найдём расстояние точки до прямойпо формуле (10):

.

Т

Рис. 1.8.

аким образом, расстояние между данными параллельными прямыми равно.

Задача 20. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых и(не находя точки пересечения) и

1. проходящей через точку ;

2. параллельной прямой .

Решение. 1) Запишем уравнение пучка прямых с известными образующими (9):

.

Тогда искомая прямая имеет уравнение

. (13)

Требуется найти такие значения и, при которых прямая пучка пройдёт через точку, т. е. её координаты должны удовлетворять уравнению (13):

.

Отсюда

.

Подставим найденное в уравнение (13) и после упрощении получим искомую прямую:

.

2. По условию задачи искомая прямая параллельна прямой

.

Воспользуемся условием параллельности прямых: . Найдём угловые коэффициенты прямыхи. Имеем, что,.

Следовательно,

.

Подставим найденное значение в уравнение (13) и упростим, получим уравнение искомой прямой.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 21. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и: 1) с угловым коэффициентом; 2) общее; 3) «в отрезках».

Задача 22. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку и образует с осьюугол, если 1),; 2),.

Задача 23. Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10 см и 6 см, приняв большую диагональ за ось , а меньшуюза ось.

Задача 24. Равносторонний треугольник со стороной, равной 2 единицам, расположен так, как показано на рисунке 9. составить уравнения его сторон.

Задача 25. Через точку провести прямую, отсекающую на положительных полуосях координат равные отрезки.

Задача 26. Найти площадь треугольника, который отсекает от координатного угла прямая:

1) ; 2).

Задача 27.Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отсекающей от координатного угла треугольник площадью, равной, если

1) ,кв. ед.; 2),кв. ед.

Задача 28. Даны вершины треугольника . Найти уравнение средней линии, параллельной стороне, если