МАТ_АНАЛІЗ_1_курс_2_семестр_Інтэграл_2

Тэарэма 2.

Няхай пры

x

a

f x

x

,

x

0 .

Тады калі

x

dx

a

збягаецца, то збягаецца і інтэграл

f

x

dx .

a

Азначэнне 2. Няўласны інтэграл

f x

dx называецца абсалютна збежным,

a

калі збягаецца інтэграл

f

x

dx . Няўласны інтэграл

f x dx называецца

a

a

ўмоўна збежным, калі ён збягаецца, а інтэграл

f

x

dx разбягаецца.

a

Прыклад 4. Даследаваць на збежнасць інтэграл

dx

.

3 x3

2

1

Рашэнне. Відавочна, што пры x

2

1

1

.

3 x3

1

x

Вылічым

dx

lim

b dx

lim ln

x

b

lim

ln

b

ln

2

.

2 x

2 x

2

b

b

b

Паколькі няўласны інтэграл

dx

разбягаецца,

то

паводле

тэарэмы

1

2 x

разбежным будзе і інтэграл

dx

.

3 x3

2

1

y

1

y

1

x

O

1

x

Рыс. 6.2

Прыклад 5. Знайсці плошчу Р пад крывой y

1

, 0 x 1

(рыс. 6.2).

x

Рашэнне. Функцыя y

1

мае бясконцы разрыў пры

x 0 . Плошчу ўсёй

x

бясконцы «хвост» прамой x

,

то

можна

знайсці

плошчу

двойчы

заштрыхаванай крывалінейнай трапецыі. Яна роўная

1 dx

. У ліміце пры

0

x

мы

павінны

атрымаць

шуканую

плошчу,

г. зн.

P lim

1 dx

lim l n

x

1

limln

1

.

x

0

0

0

Такім чынам, у дадзеным выпадку няма сэнсу весці размову пра плошчу.

Прыклад 6. Знайсці плошчу Р пад крывой y

1

, 0

x

b (рыс. 6.3).

b

x

Рашэнне.

Функцыя y

1

у

пункце x

b нявызначаная.

Будзем

b x

1

y

1

b

b

x

b

dx

b

P lim

lim

2 b

x

0 0 b x

0

0

.

2lim

b

2

b

0

Азначэнне 5. Няхай функцыя f

x

вызначаная і непарыўная на прамежку a, b ,

а ў

пункце x

b

або

нявызначаная,

або

мае разрыў.

Тады

канечны

b

lim

f x

dx (калі ён існуе) называецца няўласным інтэгралам другога роду,

0

a

b

b

г. зн.

f

x

dx

lim

f

x dx .

(4)

a

0

a

Аналагічным чынам вызначаецца няўласны інтэграл у тых выпадках, калі

падынтэгральная функцыя f x

нявызначаная або мае разрыў пры x

a :

b

b

f

x

dx

lim

f

x

dx ,

(5)

a

0 a

або пры x

c

a,

b :

b

c

b

f

x

dx

lim

f

x

dx

lim

f x

dx .

(6)

a

0 a

0 c

Адзначым, што, калі існуе канечны ліміт (4), то гавораць, што няўласны інтэграл

(4) збягаецца. Калі ліміт (4) не існуе або бясконцы, то гавораць, што інтэграл (4)

разбягаецца.

1

dx

Прыклад 7. Вылічыць

.

1

x2

0

Рашэнне. Згодна з формулай (4) знаходзім

1

dx

1

dx

1

lim

limarcsin x

limarcsin 1

.

0

1 x2

0 0

1 x2

0

0

0

2

Тэарэма 3. Няхай пры x a, b 0 f

x

x і функцыі f x і x або

нявызначаныя, або маюць разрыў пры x

b .

b

b

Калі

x

dx збягаецца, то збягаецца і інтэграл

f x dx .

a

a

b

b

Калі

f x

dx разбягаецца, то разбягаецца і

x

dx .

a

a