Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
Пусть
функция f(x)
непрерывна на отрезке
. Если при этомf(x)
на этом отрезке, то площадь S
криволинейной трапеции, ограниченной
линиями y=f(x),
y=0, x=a, x=b,
выразится с помощью интеграла:
Замечания:
1.
Если же
на
, то –f(х)
на этом отрезке. Поэтому площадь S
соответствующей криволинейной трапеции
находится по формуле
или
Наконец,
если линия y=f(x)
пересекает ось Ох,
то отрезок
надо разбить
на части, в пределах которыхf(x)
не меняет знака, и к каждой части
применить ту из формул, которая ей
соответствует.
2.
Площадь криволинейной фигуры, ограниченной
сверху графиком функции y2=f2(x),
снизу – графиком функции y1=f1(x),
слева и справа прямыми x=a,
x=b,
вычисляется по формуле: 
3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x2=2(y), слева – графиком функции x1=1(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:
Пример
11. Найти
площадь плоской фигуры, ограниченной
графиком функции y
=
sinx
и осью абсцисс при условии
.
Решение:
Разобьём отрезок
на два отрезка:
и
. На первом из
них sinx
,
на втором sinx
.
Тогда, используя формулы, находим
искомую площадь:
Вычисление объёмов
Если
тело образовано вращением вокруг оси
Ох криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной кривой y=f(x)
(
),
осью Ох и
прямыми x=a,
x=b
(a<b),
то
или
Вокруг
Оу:
Пример
12 Найти
объем тела, полученного вращением y=tgx
вокруг оси Ox,
.
Решение:
Дискретные и непрерывные случайные величины. Математическое ожидание СВХ и его вычисления. Примеры с игральными костями и монетами.
Случайные величины.
В математике величина – это общее название различных количественных характеристик предметов и явлений. Длина, площадь, температура, давление и т.д. – примеры различных величин.
Величина, которая принимает различные числовые значения под влиянием случайных обстоятельств, называется случайной величиной. Примеры случайных величин: 1) число больных, ожидающих приема у врача, 2) точные размеры внутренних органов людей и т.д.
Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает только определенные отделенные друг от друга значения, которые можно установить и перечислить.
Примеры: 1) число студентов в аудитории – может быть только целым положительным числом:0,1,2,3,4….. 20…..
2) цифра, которая появляется на верхней грани при бросании игральной кости – может принимать лишь целые значения от 1 до 6.
3) относительная частота попадания в цель при 10 выстрелах - ее значения:0; 0,1; 0,2; 0,3 ….. 1
4) число событий, происходящих за одинаковые промежутки времени: частота пульса, число вызовов скорой помощи за час, количество операций в месяц с летальным исходом и т.д.
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любые значения внутри некоторого интервала, который иногда имеет резко выраженные границы, а есди они не известны, то считают, что значения случайной величины Х лежат в интервале (-; ).. К непрерывным случайным величинам относятся, например, температура, давление, вес и рост людей, размеры форменных элементов крови, рН крови и т.п.
Понятие случайной величины играет определяющую роль в современной теории вероятностей, разработавшей специальные приемы перехода от случайных событий к случайным величинам.
Если случайная величина зависит от времени, то можно говорить о случайном процессе.