42)Операции с нечеткими множествами.

Определение операций, выполняемых с нечеткими множествами, во многом аналогично операциям с обычными (четкими) множествами.

Эквивалентность. Два нечетких множества А и В эквивалентны (это обозначается как АВ) тогда и только тогда, когда для всех хХ имеет место _А(x)= _В(х) (рис. 27.1, a).

Рис. 27.1. Операции с нечеткими множествами.

Включение. Нечеткое множество А содержится в нечетком множестве В (А  В) тогда и только тогда, когда

, (27.1)

Объединение, или дизъюнкция (disjunction), АВ двух нечетких множеств А и В соответствует логической операции «ИЛИ» и определяется как наименьшее нечеткое множество, содержащее оба множества А и В. Функция принадлежности для этого множества находится с помощью операции взятия максимума (рис. 16.1, б)

, (27.2)

Пересечение, или коньюкция (conjunction), АВ соответствует логической операции «И» и определяется как наибольшее нечеткое множество, являющееся одновременно подмножеством обоих множеств. Функция принадлежности множества АВ выражается с помощью операции нахождения минимума (рис. 27.1, в)

, (27.3)

Дополнение (complement) нечеткого множества А, обозначаемое через (илиА), соответствует логическому отрицанию «НЕ» и определяется формулой (рис. 27.1, г)

, (27.4)

Легко видеть, что применительно к классическим «четким» множествам, для которых функции принадлежности принимают только 2 значения: 0 или 1, формулы (27.2) - (27.4) определяют известные операции логического «ИЛИ», «И», «НЕ».

Приведем определения еще двух достаточно распространенных операций над нечеткими множествами - алгебраического произведения и алгебраической суммы нечетких множеств.

Алгебраическое произведение АВ нечетких множеств А и В определяется следующим образом:

, (27.5)

Алгебраическая сумма АВ:

, хХ. (27.6)

Кроме перечисленных, имеются и другие операции, которые оказываются полезными при работе с лингвистическими переменными.

Операция концентрации (concentration) CON (A) определяется как алгебраическое произведение нечеткого множества А на самого себя: CON(A)=A², т.е.

,  хХ. (27.7)

В результате применения этой операции к множеству А уменьшаются степени принадлежности элементов х этому множеству, причем если x)1, то это уменьшение относительно мало, а для элементов с малой степенью принадлежности - относительно велико. В естественном языке применение этой операции к тому или иному значению лингвистической переменной А соответствует использованию усиливающего терма «очень» (например, «очень высокий», «очень старый» и т.д.).

Операция растяжения (dilation) DIL(A) определяется как DIL(A)=А^0,5, где

, хХ. (27.8)

Действие этой операции противоположно действию операции концентрации и соответствует неопределенному терму «довольно», выполняющему функцию ослабления следующего за ним (основного) терма А: «довольно высокий», «довольно старый» и т.п.