УМК
.PDFПРИМЕР 1.25 Найти общее решение уравнения y′′ + 4y = tg2x .
Решение. Для нахождения общего решения уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных.
Соответствующее однородное уравнение y′′ + 4y = 0 ; характеристическое уравнение k2+4=0 имеет корни k1,2 = ±2i . Следовательно, y1=cos2x и y2=sin2x - два линейно независимых частных решения однородного уравнения, общее решение ЛОДУ есть Y = C1 cos 2x + C2 sin 2x и частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
|
|
|
Y* = C1 (x)cos 2x + C2 (x)sin 2x, |
|
|
|
(1.51) |
||||||||||||
где |
функции С1(x) и С2(x) определяются из системы уравнений вида |
|
|||||||||||||||||
C1′ (x)cos 2x + C′2 (x)sin 2x = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− |
2C′ (x)sin 2x |
+ 2C′ (x)cos 2x = tg2x. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решая эту систему, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
C′ |
(x)= − |
1 |
|
|
sin2 2x |
, |
|
C′ (x)= |
1 |
sin 2x. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 cos 2x |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интегрируя полученные равенства, имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
C1 (x) |
|
1 |
|
|
sin2 |
2x |
|
1 |
|
|
1 |
|
||||||
|
= − |
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx + C1 |
= |
|
∫ cos 2x − |
|
|
|
dx + C1 |
= |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
cos 2x |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
π |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
sin 2x − |
|
ln |
tg x + |
|
|
|
+ C1; |
|
|
4 |
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||
C2 |
(x)= |
1 |
∫sin 2xdx + C2 = − |
1 |
cos 2x + C2 . |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
Подставляя С1(x) и С2(x) в соотношение (1.51), находим общее решение данного уравнения:
|
1 |
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
sin 2x − |
|
ln |
tg x + |
|
|
|
− |
|
cos 2x + C2 |
sin 2x |
= |
|||||||
Y = |
|
4 |
|
+ C1 cos 2x + |
4 |
||||||||||||||
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= C1 cos 2x + C2 sin 2x − |
|
cos 2x ln |
tg x + |
|
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Замечание 1.1. |
Метод вариации произвольных постоянных имеет место и |
для линейных неоднородных уравнений с переменными коэффициентами, т.е. для уравнений вида
y(n ) + a1 (x)y(n −1) + a 2 (x)y(n −2) + ... + a n −1 (x) y′ + a n (x) y = f (x).
1.14 МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Для ЛНДУ (1.38) с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения частного решения Y*, не требующий интегрирования. Если правая часть f(x) уравнения (1.38) имеет так называемый “ специальный вид” (иногда в таком случае f(x) называют “ специальной правой частью”):
f (x) = eαx (Pn (x)cos βx + Qm (x)sin βx), |
(1.52) |
где α и β - действительные числа, а Pn(x) и Qm(x) - многочлены соответственно
n-ой и m-й степени с действительными коэффициентами, то частное решение Y* уравнения (1.38) ищется в виде
Y* = x r eαx (Ms (x)cos βx + Ns (x)sin βx). |
|
(1.53) |
||
Здесь Ms(x) и Ns(x) - многочлены s-й степени |
(s -наибольшая |
из степеней n и |
||
m) с неопределенными буквенными |
коэффициентами, а r - кратность, с которой |
|||
комплексное число α + βi входит |
в число |
корней |
характеристического |
уравнения, соответствующего однородному дифференциальному уравнению
(1.39).
ПРИМЕР 1.26 Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|||
y ′′+ 2y′ = ex (3x 2 + 2x + 9). |
|
|
(1.54) |
|||
|
|
|||||
Решение. 1. Найдем общее решение |
Y |
соответствующего |
однородного |
|||
уравнения y′′ + 2y′ = 0 . Решая |
отвечающее |
ему |
характеристическое |
уравнение k2+2k=0, получаем корни k1=0, k2=-2. Следовательно,
Y= C1 + C2e−2x .
2.Перейдем к отысканию частного решения Y* данного уравнения (1.54).
Здесь правая часть f (x) = ex (3x 2 + 2x + 9) имеет вид (1.52): n=2, P2(x)=3x2+2x+9, α = 1, β = 0 . Так как α + βi = 1 не является корнем характеристического урав-
нения, то r = 0. Следовательно, частное решение Y нужно искать в виде
Y* = (Ax2 + Bx + C)ex ,
где A, В и С -некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Для их отыскания воспользуемся тем, что Y* должно быть решением данного уравнения.
Найдем Y*′ и Y*″ :
Y*′ = (Ax2 + Bx + C)ex + (2Ax + B)ex = (Ax2 + 2Ax + Bx + B + C)ex ;
Y*″ = (Ax2 + 2Ax + Bx + B + C)ex + (2Ax + 2A + B)ex ,
Y ″ = (Ax2 + 4Ax + Bx + 2A + 2B + C)ex .
Теперь подставим выражения для Y*′ иY*″ в исходное уравнение (1.54):
(Ax2 + 4Ax + Bx + 2A + 2B + C)ex + 2(Ax2 + 2Ax + Bx + B + C)ex = = ex (3x 2 + 2x + 9).
Сокращая обе части полученного равенства на ex и группируя члены при одинаковых степенях x, имеем
3Ax2 + (8A + 3B)x + 2A + 4B + 3C = 3x2 + 2x + 9.
Это равенство выполняется тождественно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих его частях равны между собой. Итак, для отыскания коэффициентов А, В и С запишем следующую систему уравнений:
x2 : 3A |
|
= 3, |
|
|
||
x1 : |
8A |
+ 3B |
= 2, |
|
|
|
x0 : 2A |
+ 4B + 3C = 9. |
|||||
Решив эту систему, найдем A = 1, |
B = −2 , |
C = 5 . Таким образом, получаем |
||||
искомое частное решение Y* = (Ax2 + Bx + C)ex : |
||||||
|
Y* = (x 2 − 2x + 5)ex . |
|||||
Теперь можно записать общее решение данного уравнения y = |
|
+ Y* : |
||||
Y |
||||||
y = C + C |
e−2x + (x2 − 2x + 5)ex . |
|||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 1.27 Найти общее решение уравнения y ′′+ 8y′ +16y = −10e−4x .
Решение. 1. Находим Y . Характеристическое уравнение k2+8k+16=0 имеет корни k1=k2= – 4. Следовательно,
Y= (C1 + C2 x)e−4x .
2.Найдем теперь Y*. Здесь правая часть имеет вид (1.52): n=0, P0= –10,
α = −4, β = 0 . Так как α + βi = −4 служит двукратным корнем
характеристического уравнения, то r=2 и частное решение Y* надо искать в виде
Y* = Ax2e−4x ,
где A - коэффициент, подлежащий определению. Вычислим производные
Y*′ и Y*″ :
Y*′ = (− 4Ax2 + 2Ax)e−4x ,
Y*″ = (16Ax2 −16Ax + 2A)e−4x .
Подставляя выражения для Y* , Y*′ и Y*″в данное уравнение, сокращая обе его
части на e- 4x и приводя подобные члены, в итоге получим 2A= –10, откуда A= – 5. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
Y* = −5x 2e−4x ,
a общее решение данного уравнения y = Y + Y*
y = (C1 + C2 x)e−4x − 5x 2e−4x .
Замечание 1.2. Форма записи для частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами сохраняется в виде (1.53) и в тех случаях, когда «специальная»
правая часть f (x) уравнения (1.38) имеет вид: |
|
|
|||||
f (x) = e |
αx P |
|
(x) cos βx |
(т.е. Q |
|
(x) ≡ 0 ) или |
|
f (x) = e |
n |
|
(x) sin βx |
|
m |
||
αx Q |
m |
(т.е. P |
(x) ≡ 0 ). |
||||
|
|
|
|
n |
ПРИМЕР 1.28 Найти общее решение уравнения y′′ + 4y = 3x cos x.
Решение. 1. Находим Y. Характеристическое уравнение k2+4=0 имеет Корни k1,2= ± 2i. Следовательно,
Y = C1 cos 2x + C2 sin 2x.
2. Переходим к отысканию Y*. Здесь правая часть имеет вид: α = 0 , β = 1, P1 (x) = x , Q(x) = 0 . Число α + βi = i не является корнем характеристического уравнения; поэтому r = 0 и частное решение Y* следует искать в виде
Y* = (Ax + B)cos x + (Cx + D)sin x,
где A, В, С и D - неопределенные коэффициенты. Дифференцируя, находим
Y*′ = (Cx + D + A)cos x + (− Ax + C − B)sin x,
Y*″ = (− Ax + 2C − B)cos x + (− Cx − 2A − D)sin x.
Подставим теперь |
выражения |
для Y*″ и Y* в данное уравнение и |
сгруппируем члены при cos x |
и sin x; тогда получим |
(3Ax + 3B + 2C)cos x + (3Cx + 3D − 2A)sin x = 3x cos x.
Сравнивая коэффициенты при x cos x, cos x, x sin x и sin x, имеем
x cos x : |
3A |
= 3, |
cos x : |
3B + 2C |
= 0, |
x sin x : |
3C |
= 0, |
sin x : |
3D − 2A |
= 0, |
откуда A=1, B=0, C=0, D=2/3. Таким образом,
Y* = x cos x + 2 sin x. 3
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид
y = Y + Y* = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x cos x + 2 sin x. 3
ПРИМЕР 1.29 Найти общее решение уравнения y′′ + 9y = 9 cos 3x +16 sin 3x.
Решение. 1. Сначала находим Y . Характеристическое уравнение k2+9=0 имеет корни k1,2= ± 3i. Следовательно,
|
= C1 cos 3x + C2 sin 3x. |
|
Y |
(1.52) |
2. Найдем теперь Y*. В данном случае правая часть имеет вид: α = 0 , β = 3, P0 (x) = 9 , Q0 (x) = 16 . Так как число α + βi = 3i служит однократным корнем характеристического уравнения, то r = 1 и частное решение надо искать и виде
Y* = x(A cos 3x + B sin 3x),
где А и В-неопределенные коэффициенты. Находим
Y*′ = (3Bx + A)cos 3x + (− 3Ax + B)sin 3x,
Y*″ = (− 9Ax + 6B)cos 3x + (− 9Bx − 6A)sin 3x.
Подставляя Y*″ и Y* в данное уравнение и приводя подобные члены, получим
6B cos 3x − 6A sin 3x = 9 cos 3x +16 sin 3x,
откуда 6B=9, – 6A=16, т.е. B=3/2, A= –8/3. Следовательно,
|
|
|
* |
|
8 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
Y |
|
= x − |
|
cos 3x + |
|
|
sin 3x |
. |
||||||
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид |
|
|
|
|||||||||||||
y = |
|
+ Y* = C cos 3x + C |
|
sin 3x − |
8 |
x cos 3x + |
3 |
x sin 3x. |
||||||||
Y |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание 1.3. Если правая часть уравнения (1.38) есть сумма функций вида
(1.52), т.е.
f (x)= f1 (x)+ f2 (x)+... + fm (x), |
(1.55) |
нужно предварительно найти частные решения Y1* , Y2* ,…, Ym* , соответствующие функциям f1(x), f2(x),…, f m(x). Тогда частное решение запишется в виде
Y* = Y1* + Y2* + ... + Ym* , |
(1.56) |
||
а общее решение уравнения (1.38) примет вид |
|
||
Y = |
|
+ Y1* + Y2* + ... + Ym* . |
(1.57) |
Y |
|||
ПРИМЕР 1.30 Найти общее решение уравнения |
|
||
y ′′− 4y′ = 4x − 5 +10ex cos x. |
|
Решение. 1. Находим сначала Y . Характеристическое уравнение k2–4k=0 имеет корни k1=0 и k2=4 . Следовательно
Y= C1 + C2e4x .
2.Переходим к нахождению Y*. Здесь правая часть f(x) данного уравнения
представляет собой сумму функции f1(x)=4x-5 и f2(x)=10excosx. Будем искать |
|||||||
частные решения Y* и Y* для каждой из этих функций в отдельности. |
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Функция f1(x)=4x-5 имеет вид (1.52): n=1, P1(x)=4x-5, α = 0, β = 0 , причем |
|||||||
α + βi = 0 является однократным корнем |
характеристического |
уравнения (т.е. |
|||||
r =1). Следовательно, |
|
= x(Ax + B)= Ax2 + Bx. |
|
||||
|
|
Y* |
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Дифференцируя, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y*′ |
= 2Ax + B , |
Y*″ = 2A . |
|
||
Подставляя Y*′и Y*″ в |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
левую |
часть |
данного уравнения и |
приравнивая |
||||
1 |
1 |
f1 (x)= 4x − 5, имеем |
|
||||
полученное выражение к |
|
||||||
|
|
2A − 4(2Ax + B)= 4x − 5, |
|
||||
откуда − 8A = 4, 2A − 4B = −5, или A = −1/ 2, B = 1. Таким образом, |
|||||||
|
|
|
Y* |
= − |
x 2 |
+ x. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция f2 (x)= 10ex cos x также имеет вид (1.52): α = 1, β = 1, P0 (x)=1, Q0 (x)= 0 . Так как число α + βi = 1 + i не является корнем характеристического
уравнения, то r=0 и частное решение Y2* ищем в форме
Y2* = ex (C cos x + D sin x).
Дифференцируя, находим
|
|
|
|
|
Y*′ |
= ex ((C + D)cos x + (D − C)sin x), |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y*″ = ex (2D cos x − 2C sin x). |
|
|||||||||
Подставляя Y*′ иY*″ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в левую часть данного уравнения и приравнивая получен- |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ное выражение к |
f2 (x)= 10ex , имеем |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ex ((− 4C − 2D)cos x + (2C − 4D)sin x)= 10ex cos x, |
||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 4C − 2D = 10, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
− 4D |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
т. е. С= –2, D= –1. |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Y* = −2ex |
cos x − ex sin x. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
общее |
решение |
данного |
уравнения |
запишется следующим |
|||||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y = |
|
+ Y* |
+ Y* |
= C |
+ C |
|
e4x |
− |
x 2 |
+ x − 2ex cos x − ex |
sin x. |
||||
Y |
2 |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.15 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Для решения многих технических и экономических задач требуется определить несколько функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим систему.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.32 Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную x, искомые функции y1, y2,…,y n и их производные.
Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций y1, y2,…,y n
|
F (x, y , y |
2 |
,..., y |
n |
, y′, y′ ,..., y′ |
) = 0, |
||||||
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
n |
) = 0, |
|||||
F |
(x, y , y |
2 |
,..., y |
n |
, y′ |
, y′ |
,..., y′ |
|||||
|
2 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
....................................................... |
....................................................... |
||||||||
|
(x, y , y |
|
|
|
, y′ |
, y′ |
,..., y′ |
) = 0. |
F |
2 |
,..., y |
n |
|||||
n |
1 |
|
1 |
2 |
n |
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.33 Нормальной системой ДУ называется система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной
|
dy1 |
|
|
= f |
(x, y , y |
2 |
,..., y |
n |
), |
|
|||||
|
|
||||||||||||||
dx |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy2 |
|
|
= f2 |
(x, y1, y2 ,..., yn ), |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.58) |
|
...................................... |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
...................................... |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dyn |
|
|
= f |
n |
(x, y , y |
2 |
,..., y |
n |
). |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||||
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число уравнений системы равно числу искомых функций. Системы ДУ и ДУ высших порядков во многих случаях можно привести к нормальной системе ДУ (1.58).
Например, система трех ДУ второго порядка
|
d2 x |
= F |
(x, y, z, t, x′, y′, z′), |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d2 y |
= F |
(x, y, z, t, x′, y′, z′), |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d2 z |
= F (x, y, z, t, x′, y′, z′), |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
путем введения новых переменных |
dx |
= u , |
dy |
= v , |
dz |
= w приводится к |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt |
dt |
dt |
нормальной системе ДУ:
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
= F (x, y, z, t, u, v, w). |
||||
|
||||||
dt |
3 |
|
|
|
||
dx |
= u, |
dy |
= v, |
dz |
= w, |
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = F1 |
(x, y, z, t, u, v, w ), |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv = F2 |
(x, y, z, t, u, v, w), |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.34 Решением системы (1.58) называется совокупность |
||||
из n функций |
y1 (x), y2 (x), y3 (x),..., yn (x), которые после подстановки в систему |
|||
обращают каждое её уравнение в верное равенство. |
|
|||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.35 Начальными условиями для системы (1.58) |
||||
называется условия вида |
|
|
||
|
y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y02 , ..., yn (x0 ) = y0n . |
(1.59) |
||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.36 Решением задачи Коши для системы (1.58) |
||||
называется такое решение, которое удовлетворяет начальным условиям (1.59). |
||||
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.37 Общим решением системы (1.58) в области D |
||||
называется |
набор |
функций |
y1 (x, C1, C2 ,..., Cn ), y2 (x, C1, C2 ,..., Cn ),....., |
|
yn (x, C1, C2 ,..., Cn ), |
которые |
для любых C1, C2 ,..., Cn D R являются |
решением (1.58) и для любых начальных условий (1.59) из области определения
системы |
существует |
набор |
|
C* , C* ,..., C* |
, |
при |
котором |
функции |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
y |
(x, C* , C* ,..., C* ), |
y |
2 |
(x, C* , C* ,..., C* ),....., y |
n |
(x, C* , C* ,..., C* ) |
удовлетворяют |
|||||||||||
1 |
1 |
2 |
n |
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
||
начальным условиям (1.59). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.38 Всякое решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y (x, C* |
, C* ,..., C* ), y |
2 |
(x, C* , C* |
,..., C* ),....., y |
n |
(x, C* , C* |
,..., C* ), |
(1.60) |
|||||||||
|
1 |
1 |
2 |
n |
|
|
1 2 |
n |
|
|
|
1 2 |
|
n |
|
|||
полученное из общего решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y1 (x, C1, C2 ,..., Cn ), y2 (x, C1, C2 ,..., Cn ),....., yn (x, C1, C2 ,..., Cn ) |
(1.61) |
при начальных условиях (1.59), называется частным решением.
Одним из методов решения нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка.
Пусть задана система (1.58). Продифференцируем по x любое, например
первое, уравнение:
|
|
|
d2 y |
|
∂f |
|
|
|
∂f |
|
dy |
|
|
∂f |
|
|
|
dy |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
dy |
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
= |
|
1 |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+... + |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
(1.62) |
||||||||||||||
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
∂y dx |
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
n |
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив в это равенство производные |
dy1 |
, |
dy2 |
,..., |
dyn |
из системы (1.58), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|||||||
|
d |
2 y |
∂f |
|
|
∂f |
1 |
|
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂f |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получим |
|
1 |
= |
|
1 |
+ |
|
|
|
f |
1 |
+ |
1 |
|
f |
2 |
+ |
... + |
|
|
|
f |
|
n |
, или |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx2 |
∂x |
|
∂y |
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 y1 |
|
= F2 (x, y1, y |
2 ,..., yn ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.63) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продифференцировав равенство (1.63) ещё раз и заменив
(1.58), получим
3
d y31 = F3 (x, y1, y2 ,..., yn ) dx
и так далее.
Продифференцировав (1.63) в последний раз, получаем
n
d yn1 = Fn (x, y1, y2 ,..., yn ). dx
Система из полученных уравнений имеет вид:
|
dy1 |
= f (x, y , y |
|
,..., y |
|
), |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
dx |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 y1 |
|
= F (x, y , y |
2 |
|
,..., y |
n |
), |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
dx2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d3 y1 |
|
|
= F |
(x, y , y |
2 |
,..., y |
n |
), |
|||||||||
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
........................................ |
||||||||||||||||||
........................................ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn y |
|
= F |
(x, y , y |
|
|
|
|
|
|
|
). |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
,..., y |
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
dxn |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy1 , dy2 ,..., dyn из dx dx dx
(1.64)
(1.65)
(1.66)