УМК

Здесь r − кратность корня α + i β в характеристическом уравнении

многочлены от x степени S , с неопределенными коэффициентами, причем S равно наибольшему из чисел n и m

Неизвестные коэффициенты многочленов Ps (x) иQs (x) находятся из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него Y* вместо y .

Если правая часть уравнения (2.30) есть сумма конечного числа функций вида (2.31), то частное решение есть сумма частных решений, соответствующих правых частей, т.е. если

нения y = Y + Y* . Найдем Y − общее решение соответствующего однородно-

го уравнения y′′ − 2y′ − 3y = 0 . Его характеристическое уравнение имеет вид

(Y* )″ = 4 e4x`(4ax + 4b + a)+ 4a e4x = e4x (16ax +16b + 8a), то уравнение

y ′′− 2y′ − 3y = x e4x примет вид:

e4x (16ax +16b + 8a ) − 2e4x (4ax + 4b + a ) − 3e4 x (ax + b) = x e4x .

Сокращаем на e4x и после упрощения имеем 5ax + 6a + 5b = x . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства.

x : 5a = 1,

Общее решение уравнения y = y + y , поэтому окончательно имеем

y(x) = e4x 5x − 6 + C1 e3x + C2 e−x . 25

ПРИМЕР 2.29. Найти общее решение уравнения линейного осциллятора без трения с периодической внешней силой sin(ωt) :

x′′+ ω2 x = sin(ωt).

ω2 − частота собственных колебаний, ω2 = k / m.

Решение. Общее решение однородного уравнения x ′′+ ω2 x = sin(ωt)

выписывается с учетом корней характеристического уравнения k1,2 = ±iω : x(t) = C1 cos(ωt) + C 2 sin(ωt) .

Число α + iβ = i ω, соответствующее правой части уравнения, является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде

u(t) = (A cos(ωt) + B sin(ωt))t ,

u'(t) = (−Aωsin(ωt) + Bωcos(ωt))t + A cos(ωt) + B sin(ωt), u''(t) = −t(Aω2 cos(ωt) + Bω2 sin(ωt)) + 2(−Aωsin(ωt) + Bωcos(ωt)) .

После подстановки в уравнение получаем

− 2Aωsin(ωt) + 2Bωcos(ωt) = sin(ωt) .

Наличие в общем решении членов пропорциональных t свидетельствует о росте со временем амплитуды колебаний. Этот эффект называется резонансом. Это происходит при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой.

Если правая часть уравнения представляет собой сумму различных функций вида (функций с разными α иβ), то решение выписывается с использованием теоремы о суперпозиции решений: надо найти частные решения, соответствующие различным частям и затем взять их сумму, которая и является решением исходного уравнения.

ПРИМЕР 2.30. Найти общее решение уравнения y(4) + y''=12x + 6e x

с начальными данными y'' ' (0) =11, y' ' (0) = 3, y'(0) = 6, y(0) = 4.

Решение. Сначала находится общее решение, затем определяются содержащиеся в нем произвольные константы. Правая часть представляет собой

сумму двух функций f1 (x) = x и f 2 (x) = ex . Для каждой из функций найдем соответствующее частное решение. Общее решение Y однородного уравнения

ние ищем в виде многочлена первой степени (n = 1) с произвольными коэффи-

Число α + iβ = 1 корнем характеристического уравнения не является, следова-

го находим значение функции y и ее производных при x = 0 и приравниваем их к соответствующим начальным данным

где коэффициенты a ij -известные константы.

Один из методов заключается в сведении системы к дифференциальному уравнению на одну из неизвестных функций. Продифференцируем, например, первое уравнение

ражения для них. Получаем уравнение, которое запишем в виде:

Коэффициенты αij легко вычисляются через коэффициенты исходной систе-

мы. Проделывая эту процедуру далее, имеем

Подставляя эти выражения в последнее уравнение (2.42), получаем линейное дифференциальное уравнение n-го порядка для y1. Решая полученное уравнение тем или иным способом находим y1 , затем по полученным формулам на-

ходим y2 ,K, yn .

y1 (x) = C1e−x + C2 e2x + C3e−2x .

Будем искать решение в виде x = p1eλt , y = p 2 eλt . Определим при каких λ такое решение существует. Подставим выражения для x, y в систему, и

Эта линейная алгебраическая система имеет ненулевые решения только тогда, когда определитель соответствующей матрицы равен 0:

Уравнение (2.48) называется характеристическим уравнением системы (2.46), его решения – характеристическими числами. Это уравнение имеет два корня λ1 и λ2 (вообще говоря, комплексные). Рассмотрим три различных случая.

1) λ1 , λ2 R , λ1 ≠ λ2 .

В этом случае система имеет два частных решения, соответствующие

решения системы (2.47) с соответствующими λ = λ1,2 . Общее решение системы

выписывается как линейная комбинация частных решений с произвольными коэффициентами:

x* = p1 e(α+iβ)t , y* = p2 e(α+iβ)t . Частными вещественными решениями являются следующие пары функции, определенные как вещественная и мнимая части x*, y * :

Их линейная комбинация и дает выражения для общего решения

x= C1 Re(p1 e(α+iβ)t ) + C2 Im(p1 e(α+iβ)t ),

y= C1 Re(p 2 e(α+iβ)t ) + C2 Im(p2 e(α+iβ)t ).

3)λ- вещественный корень кратности 2.

Общее решение в этом случае имеет вид

Здесь a1 , a 2 , a 3 , a 4 − неизвестные константы, но только две из них могут

быть произвольными. Чтобы определить их, подставим выражения (2.49) в систему (2.46). Отдельно приравнивая свободные члены и члены с множителями t , получим два различных уравнения. Полагая, например, a1 = C1, a 2 = C2 , на-

ходим a 3 , a 4 .

ПРИМЕР 2.32. Найти общее решение системы уравнений.

x′ = 4x − 3y,

′ = +

y 3x 4y.

Решение. Решение ищем в виде x = p1eλt , y = p 2 eλt . На p1 , p 2 и λ получаем систему

Эта алгебраическая система имеет ненулевые решения только при λ, равном корню характеристического многочлена

Корни λ1,2 = 4 ± 3i. Найдем p1 , p 2 ,соответствующие значения λ1 = 4 + 3i :

выпишем как вещественную и мнимую часть функций x = p1eλt и y = p2 eλt :

2.15 РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

Изучение динамических процессов в различных областях физики, биологии, химии, экономики и т.п. приводит к математическим моделям в виде дифференциальных уравнений. Рассмотрим лишь некоторые задачи, постановка которых дает дифференциальное уравнение (ДУ).

Простейший пример: задача о нахождении первообразной некоторой непрерывной функции f (x) сводится к ДУ I порядка вида: y′ = f (x).

Известно, что график решения ДУ изображается на плоскости X0Y интегральной кривой. Общее решение ДУ есть семейство интегральных кривых, за-

Из полученной системы исключаем c1 , c 2 ,K, c n . Таким образом, получим ДУ n −го порядка для интегральных кривых y = ϕ(x,c1,K,cn ).

В случае, когда кривые заданы в неявном виде Φ (x, c1 ,K, c n ) = 0 , при