![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Информатика_Методы
.pdf![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0111x1.jpg)
21.01.2013
Геометрически идея состоит в следующем. Поскольку в геометрии нет готовой универсальной формулы для вычисления площади произвольной криволинейной трапеции, то эту фигуру нужно приближенно заменить на некоторую простую фигуру с легко вычисляемой площадью (прямоугольник, прямоугольная трапеция, параболическая трапеция) или, по-другому, истинную кривую f (x) заменяют прямой или параболой.
111
111
![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0112x1.jpg)
21.01.2013
Поскольку при такой замене возникает погрешность вычисления площади, то с целью ее снижения исходную криволинейную трапецию разбивают на множество меньших (элементарных) трапеций и затем каждую элементарную трапецию заменяют простой фигурой, вычисляют их площади и складывают. Чем больше будет число разбиений, тем более точно будет вычислена площадь исходной фигуры, т.е. значение интеграла.
112
112
![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0113x1.jpg)
21.01.2013
Метод (формула) прямоугольников
Согласно геометрической идеи
для вычисления площади
исходной фигуры (интеграла), она приближенно заменяется на
сумму площадей
прямоугольников.
113
113
![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0114x1.jpg)
21.01.2013
Разделим отрезок [a, b] на n равных |
|
||||
отрезков длиной h. |
|
|
|
||
y |
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
0 |
a x1 |
xi |
xn-1 b |
x |
|
|
x0 |
|
xn |
|
|
h = (b - a)/n , xi = a + ih , i = 0, 1, …, n. |
114 |
114
![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0115x1.jpg)
21.01.2013
Заменим каждую элементарную площадь прямоугольником с высотой по левой границе отрезка.
y |
|
y1 |
yi |
|
|
||
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
0 |
a |
x1 |
xi |
|
x0 |
|
|
yn-1 |
|
|
|
yn |
|
xn-1 |
b |
x |
|
xn |
|
115
115
![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0116x1.jpg)
21.01.2013
В этом случае площадь исходной фигуры (значение интеграла) можно приближенно вычислить как сумму площадей прямоугольников.
Формула левых прямоугольников:
b
f ( x)dx S h y0 h y1 ... h yn1
a |
|
n1 |
n1 |
h yi |
h f ( xi ). |
i 0 |
i 0 |
116
116
![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0117x1.jpg)
21.01.2013
Можно строить прямоугольники с |
|||||
высотой по правой границе отрезка. |
|||||
y |
|
yi |
yn-1 |
|
|
|
y1 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
yn |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
0 |
a x1 |
xi |
xn-1 |
b |
x |
|
x0 |
|
|
xn |
|
117
117
![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0118x1.jpg)
21.01.2013
В этом случае получится немного другая формула
Формула правых прямоугольников:
b
f ( x)dx S h y1 h y2 ... h yn
a |
|
n |
n |
h yi |
h f ( xi ). |
i 1 |
i 1 |
Погрешность вычисления интеграла по формулам прямоугольников
достаточно велика.
118
118
![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0119x1.jpg)
21.01.2013
Метод (формула) трапеций
Здесь для вычисления интеграла
площадь исходной фигуры
приближенно заменяется на сумму площадей прямоугольных
трапеций.
119
119
![](/html/2706/289/html_dsimh8Imbc.awVp/htmlconvd-ZCL4V0120x1.jpg)
21.01.2013
Заменим каждую элементарную |
|
|||
площадь прямоугольной трапецией, |
||||
т.е. соединим точки yi |
отрезками |
|
||
прямых линий (хордами). |
|
|||
y |
y1 |
yi |
yn-1 |
|
|
|
|||
|
|
|
||
|
y0 |
|
yn |
|
|
h |
|
|
|
0 |
a x1 |
xi |
xn-1 b |
x |
|
x0 |
|
xn |
120 |
120